어떤 문제인가
이 문제는 서로 구별되지 않는 흰 공 $4$개와 검은 공 $4$개를 세 명의 학생 $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$에게 조건에 맞게 나누어 주는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 경우의 수 나누기 (분류): 조건 (가)에 따라 학생 $\text{A}$가 받는 공의 개수를 기준으로 상황을 나누어 생각합니다.
- 여사건의 활용: 조건 (나)에서 '$\text{B}$가 받는 공이 $2$개 이상'인 경우를 직접 구하는 것보다, 전체 경우에서 '$\text{B}$가 $0$개 또는 $1$개 받는 경우'를 빼는 것이 훨씬 간단합니다.
- 중복조합의 아이디어: 같은 종류의 공을 서로 다른 사람에게 나누어 주는 방법의 수를 구합니다. (특히 두 명에게 나누어 줄 때는 아주 직관적으로 계산할 수 있습니다.)
단계별 풀이
1단계: 기본 원리 이해하기 (두 명에게 공 나누어 주기)
흰 공과 검은 공은 서로 구별되지 않습니다.
만약 어떤 색깔의 공 $k$개를 두 명($\text{B}$, $\text{C}$)에게 나누어 준다면, 경우의 수는 몇 가지일까요?
$\text{B}$가 받을 수 있는 공의 개수는 $0$개부터 $k$개까지 총 $k+1$가지가 있고, $\text{B}$가 받는 개수가 결정되면 $\text{C}$는 남은 공을 모두 가져가므로 경우의 수는 그냥 **$k+1$가지**가 됩니다.
이 원리를 이용해 문제를 쉽게 풀어봅시다!
2단계: 학생 $\text{A}$가 받는 공의 수에 따라 경우 분류하기
조건 (가)에 의해 $\text{A}$가 받는 공의 총 개수는 $0$개, $1$개, $2$개 중 하나입니다. $\text{A}$가 받는 흰 공의 개수를 $a_w$, 검은 공의 개수를 $a_b$라고 하고 경우를 나누어 봅시다.
[경우 1] $\text{A}$가 공을 총 $0$개 받는 경우: $(a_w, a_b) = (0, 0)$
- 남은 공: 흰 공 $4$개, 검은 공 $4$개
- 전체 나누어 주는 방법:
남은 공을 $\text{B}$와 $\text{C}$에게 나누어 줍니다.
* 흰 공 $4$개를 나누어 주는 방법: $4+1 = 5$가지
* 검은 공 $4$개를 나누어 주는 방법: $4+1 = 5$가지
* 전체 경우의 수: $5 \times 5 = 25$가지
- 조건 (나)를 만족하지 않는 경우 (여사건): $\text{B}$가 받는 공의 총합이 $2$개 미만(즉, $0$개 또는 $1$개)인 경우를 빼야 합니다.
* $\text{B}$가 총 $0$개 받는 경우: $(\text{B}$의 흰 공, 검은 공) = $(0,0)$ $\rightarrow$ $1$가지
* $\text{B}$가 총 $1$개 받는 경우: $(1,0)$ 또는 $(0,1)$ $\rightarrow$ $2$가지
* 여사건의 수: $1 + 2 = 3$가지
- 조건을 만족하는 경우의 수: $25 - 3 = 22$가지
[경우 2] $\text{A}$가 공을 총 $1$개 받는 경우
$\text{A}$가 받는 공의 색에 따라 두 가지로 나뉩니다.
**① $(a_w, a_b) = (1, 0)$ 인 경우 (흰 공 1개)**
- 남은 공: 흰 공 $3$개, 검은 공 $4$개
- 전체 나누어 주는 방법: $(3+1) \times (4+1) = 20$가지
- **여사건 ($\text{B}$가 $0$개 또는 $1$개 받는 경우):**
* $\text{B}$가 총 $0$개: $(0,0)$ $\rightarrow$ $1$가지
* $\text{B}$가 총 $1$개: $(1,0)$ 또는 $(0,1)$ $\rightarrow$ $2$가지 (남은 공이 충분하므로 모두 가능)
* 여사건의 수: $3$가지
- 만족하는 경우의 수: $20 - 3 = 17$가지
**② $(a_w, a_b) = (0, 1)$ 인 경우 (검은 공 1개)**
- ①번 상황과 대칭적이므로 동일하게 **$17$가지**가 나옵니다.
- [경우 2]의 총 경우의 수: $17 + 17 = 34$가지
[경우 3] $\text{A}$가 공을 총 $2$개 받는 경우
$\text{A}$가 받는 공의 색에 따라 세 가지로 나뉩니다.
**① $(a_w, a_b) = (2, 0)$ 인 경우 (흰 공 2개)**
- 남은 공: 흰 공 $2$개, 검은 공 $4$개
- 전체 나누어 주는 방법: $(2+1) \times (4+1) = 15$가지
- **여사건 ($\text{B}$가 $0$개 또는 $1$개 받는 경우):**
* $\text{B}$가 총 $0$개: $(0,0)$ $\rightarrow$ $1$가지
* $\text{B}$가 총 $1$개: $(1,0)$ 또는 $(0,1)$ $\rightarrow$ $2$가지
* 여사건의 수: $3$가지
- 만족하는 경우의 수: $15 - 3 = 12$가지
**② $(a_w, a_b) = (0, 2)$ 인 경우 (검은 공 2개)**
- ①번 상황과 대칭적이므로 동일하게 **$12$가지**가 나옵니다.
**③ $(a_w, a_b) = (1, 1)$ 인 경우 (흰 공 1개, 검은 공 1개)**
- 남은 공: 흰 공 $3$개, 검은 공 $3$개
- 전체 나누어 주는 방법: $(3+1) \times (3+1) = 16$가지
- **여사건 ($\text{B}$가 $0$개 또는 $1$개 받는 경우):**
* $\text{B}$가 총 $0$개: $(0,0)$ $\rightarrow$ $1$가지
* $\text{B}$가 총 $1$개: $(1,0)$ 또는 $(0,1)$ $\rightarrow$ $2$가지
* 여사건의 수: $3$가지
- 만족하는 경우의 수: $16 - 3 = 13$가지
- [경우 3]의 총 경우의 수: $12 + 12 + 13 = 37$가지
3단계: 모든 경우의 수 더하기
각 경우는 동시에 일어날 수 없으므로(합의 법칙), 구한 값들을 모두 더합니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 22 \text{ (경우 1)} + 34 \text{ (경우 2)} + 37 \text{ (경우 3)}$$
$$22 + 34 + 37 = 93$$
답
$$93$$
확인해보기
위에서 설명한 풀이 과정 중에서 "여사건의 수(B가 받는 공이 0개 또는 1개인 경우)는 모든 경우에서 항상 3가지"였습니다.
그렇다면, 만약 학생 $\text{A}$가 흰 공 $4$개를 모두 가져가서 남은 공이 **검은 공 $4$개뿐인 상황**이라면, 이때도 $\text{B}$가 공을 $0$개 또는 $1$개 받는 경우의 수(여사건)는 여전히 $3$가지일까요? 아니라면 몇 가지가 될지 스스로 생각해보세요!