어떤 문제인가
이 문제는 $x$가 $0$으로 한없이 가까워질 때, 삼각함수를 포함한 식의 극한값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 머릿속에 꼭 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼각함수의 극한 기본 공식: $x$가 라디안 단위일 때, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 이며, 역수 관계인 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ 도 성립합니다.
- 극한의 성질: 극한 기호 $\lim$ 안의 식에 곱해진 상수는 기호 밖으로 나갈 수 있고, 전체 식의 거듭제곱은 극한값의 거듭제곱으로 계산할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 우리가 알고 있는 기본 공식의 형태로 식을 변형하기
우리가 알고 있는 가장 강력한 무기는 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ 이라는 사실입니다. 문제에 주어진 식 $\frac{3x^2}{\sin^2 x}$에서 이 형태를 찾아내기 위해 식을 쪼개어 묶어봅시다.
분모와 분자에 모두 제곱($^2$)이 있으므로, 다음과 같이 묶을 수 있습니다:
$$\frac{3x^2}{\sin^2 x} = 3 \cdot \frac{x^2}{\sin^2 x} = 3 \cdot \left(\frac{x}{\sin x}\right)^2$$
이렇게 변형하면 우리가 잘 아는 $\frac{x}{\sin x}$ 모양이 나타나게 됩니다.
2단계: 극한값 대입하여 계산하기
이제 식 전체에 극한 $\lim_{x \to 0}$을 적용해 봅시다. 극한의 성질에 의해, 상수 $3$은 앞으로 나오고 제곱은 극한 계산을 먼저 한 뒤에 해줄 수 있습니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \left[ 3 \cdot \left(\frac{x}{\sin x}\right)^2 \right]$$
$$= 3 \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \right)^2$$
여기서 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ 이므로, 이 값을 대입하면 다음과 같습니다:
$$= 3 \cdot (1)^2 = 3$$
아주 간단하게 답을 구할 수 있지요?
답
**③ $3$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요? 다음 극한값은 얼마일지 직접 계산해 보세요.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{2x^2}$$