어떤 문제인가
이 문제는 주어진 유리함수(분수 모양의 함수)를 $0$부터 $10$까지 정적분하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 유리식의 변형: 분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같을 때는, 분수를 정수(또는 다항식) 부분과 진분수 부분으로 나누어 줍니다.
- 로그함수의 적분: $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$ 공식을 활용합니다.
- 정적분의 기본 정리: 함수 $f(x)$의 부정적분을 $F(x)$라 할 때, $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$를 이용해 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 피적분함수 단순화하기
적분 기호 안에 있는 함수 $\frac{x+2}{x+1}$는 분모와 분자의 차수가 $1$차로 같습니다. 이 상태로는 바로 적분하기 어려우므로, 분자를 분모의 형태로 변형하여 식을 쪼개어 줍니다.
$$\frac{x+2}{x+1} = \frac{(x+1) + 1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1}$$
이렇게 변형하면 적분하기 아주 쉬운 두 개의 항으로 나누어집니다.
2단계: 부정적분 구하기
이제 변형한 식의 부정적분을 구해봅시다. 각각의 항을 따로 적분하면 됩니다.
- $1$을 적분하면 $x$가 됩니다.
- $\frac{1}{x+1}$을 적분하면 $\ln|x+1|$이 됩니다. (단, $x > -1$이므로 절댓값 기호는 생략할 수 있습니다.)
따라서 부정적분은 다음과 같습니다.
$$\int \left(1 + \frac{1}{x+1}\right) dx = x + \ln|x+1| + C$$
3단계: 정적분 계산하기
이제 위끝인 $10$과 아래끝인 $0$을 대입하여 정적분의 값을 구합니다.
$$\int_{0}^{10} \frac{x+2}{x+1} dx = \left[ x + \ln(x+1) \right]_{0}^{10}$$
위끝 $10$을 대입한 값에서 아래끝 $0$을 대입한 값을 빼줍니다.
$$= \left( 10 + \ln(10+1) \right) - \left( 0 + \ln(0+1) \right)$$
$$= (10 + \ln 11) - (0 + \ln 1)$$
여기서 로그의 성질에 의해 $\ln 1 = 0$이므로, 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$= 10 + \ln 11$$
답
**④ $10 + \ln 11$**
확인해보기
오늘 배운 방법을 활용해서 다음 문제를 스스로 풀어보세요.
> 질문: 적분 구간이 $[1, 5]$일 때, 정적분 $\int_{1}^{5} \frac{x+2}{x+1} dx$의 값은 무엇일까요? 로그의 성질($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$)을 이용해서 답을 간단히 정리해 보세요.