어떤 문제인가
이 문제는 주어진 수열의 극한 식을 활용하여, 복잡해 보이는 무리식 형태의 극한값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 치환을 이용한 극한의 성질 활용: 복잡한 수열의 극한이 주어졌을 때, 새로운 수열로 치환하여 우리가 다루기 쉬운 형태로 바꿉니다.
- **$\infty - \infty$ 꼴의 극한 계산 (유리화)**: 루트가 포함된 무한대 빼기 무한대 꼴의 식은 분자를 유리화하여 분수 형태로 변형합니다.
- 분모·분자를 가장 큰 차수의 항으로 나누기: 무한대 분의 무한대($\frac{\infty}{\infty}$) 꼴의 극한을 계산할 때 쓰는 기본 원리입니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건 분석하여 $\frac{a_n}{n}$의 극한값 구하기
주어진 조건인 $\lim_{n \to \infty} \frac{n a_n}{n^2+3} = 1$을 그대로 쓰기에는 복잡하므로, 이 수열을 $b_n$으로 치환해 봅시다.
$$b_n = \frac{n a_n}{n^2+3}$$
라고 하면, 문제의 조건에 의해 $\lim_{n \to \infty} b_n = 1$입니다.
이제 우리가 궁금한 $a_n$에 대해 식을 정리해 볼까요? 양변에 $\frac{n^2+3}{n}$을 곱하면 다음과 같습니다.
$$a_n = b_n \cdot \frac{n^2+3}{n}$$
우리가 구해야 하는 식에는 $a_n$과 $n$이 섞여 있으므로, $a_n$이 대략 $n$의 몇 배만큼 커지는지 알아보기 위해 $\frac{a_n}{n}$의 극한값을 구해봅시다.
$$\frac{a_n}{n} = b_n \cdot \frac{n^2+3}{n^2} = b_n \left(1 + \frac{3}{n^2}\right)$$
여기에 $n \to \infty$ 극한을 취하면, $\lim_{n \to \infty} b_n = 1$이고 $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0$이므로 다음과 같은 아주 중요한 단서를 얻을 수 있습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 1 \cdot (1 + 0) = 1$$
이 식은 앞으로 $a_n$을 $n$에 관한 식으로 나누어 극한을 계산할 때 핵심 열쇠가 됩니다.
2단계: 구하고자 하는 식 유리화하기
우리가 구해야 하는 극한식은 다음과 같습니다.
$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{a_n^2 + n} - a_n)$$
$n \to \infty$일 때 $a_n \to \infty$이므로, 이 식은 $\infty - \infty$ 꼴입니다. 분모를 $1$이라 생각하고 분자를 유리화해 줍니다. 분모와 분자에 합차 공식인 $(\sqrt{a_n^2 + n} + a_n)$을 곱해봅시다.
$$\sqrt{a_n^2 + n} - a_n = \frac{(\sqrt{a_n^2 + n} - a_n)(\sqrt{a_n^2 + n} + a_n)}{\sqrt{a_n^2 + n} + a_n}$$
분자를 전개하여 정리하면 다음과 같이 간단해집니다.
$$\frac{(a_n^2 + n) - a_n^2}{\sqrt{a_n^2 + n} + a_n} = \frac{n}{\sqrt{a_n^2 + n} + a_n}$$
3단계: 분모와 분자를 $n$으로 나누어 극한값 계산하기
이제 식의 극한을 구할 차례입니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{a_n^2 + n} + a_n}$$
1단계에서 구한 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 1$이라는 단서를 사용하기 위해, 분모와 분자를 모두 $n$으로 나누어 줍니다. (이때 분모의 루트 안으로 $n$이 들어가면 $n^2$이 됩니다.)
$$\frac{\frac{n}{n}}{\frac{\sqrt{a_n^2 + n}}{n} + \frac{a_n}{n}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a_n^2 + n}{n^2}} + \frac{a_n}{n}} = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a_n}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}} + \frac{a_n}{n}}$$
이제 $n \to \infty$ 극한을 적용해 봅시다.
- $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 1$ 이므로, $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{a_n}{n}\right)^2 = 1^2 = 1$ 입니다.
- $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ 입니다.
이 값들을 대입하면 최종 극한값을 얻을 수 있습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a_n}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}} + \frac{a_n}{n}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$
답
정답은 **② $\frac{1}{2}$** 입니다.
확인해보기
만약 문제의 조건이 다음과 같이 바뀌었다면, $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}$의 값은 무엇이 될지 스스로 생각해보세요.
> 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \frac{n a_n}{3n^2+5} = 2$ 일 때, $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}$의 값은?