어떤 문제인가
이 문제는 주어진 곡선과 $x$축, 그리고 두 직선으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고, $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 입체도형의 부피와 정적분: 어떤 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S(x)$라고 할 때, $x=a$부터 $x=b$까지의 부피 $V$는 $V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx$로 구합니다.
- 정사각형의 넓이: 한 변의 길이가 $y$인 정사각형의 넓이는 $S(x) = y^2$입니다.
- 치환적분법: 복잡한 분수 형태의 함수를 적분하기 위해 식을 변형하고 적절한 부분을 치환하여 적분합니다.
단계별 풀이
1단계: 단면의 넓이 $S(x)$ 식 세우기
입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 곡선의 $y$ 좌표와 같은 정사각형입니다.
따라서 $x$에서의 단면의 넓이 $S(x)$는 한 변의 길이인 $y$를 제곱한 값입니다.
$$S(x) = y^2 = \left(\sqrt{\frac{x+1}{x(x+\ln x)}}\right)^2 = \frac{x+1}{x(x+\ln x)}$$
2단계: 부피 $V$를 구하기 위한 정적분 식 세우기
입체도형의 범위가 $x=1$부터 $x=e$까지이므로, 부피 $V$는 단면의 넓이 $S(x)$를 이 구간 동안 정적분하여 구합니다.
$$V = \int_{1}^{e} S(x) \, dx = \int_{1}^{e} \frac{x+1}{x(x+\ln x)} \, dx$$
3단계: 식을 변형하여 치환적분 준비하기
피적분함수의 분모에 있는 $x$를 분자로 올려서 식을 보기 좋게 정리해 봅시다. 분모와 분자를 각각 $x$로 나누는 것입니다.
$$\frac{x+1}{x(x+\ln x)} = \frac{\frac{x+1}{x}}{x+\ln x} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{x+\ln x}$$
이렇게 변형하면 분모를 미분한 형태가 분자에 나타나게 됩니다!
4단계: 치환적분 실행하기
이제 $t = x + \ln x$로 치환해 봅시다.
양변을 $x$에 대해 미분하면,
$$dt = \left(1 + \frac{1}{x}\right) dx$$
적분 구간도 $x$에서 $t$로 바꾸어 줍니다.
- $x = 1$일 때, $t = 1 + \ln 1 = 1$
- $x = e$일 때, $t = e + \ln e = e + 1$
이제 이 값들을 원래의 정적분 식에 대입합니다.
$$V = \int_{1}^{e+1} \frac{1}{t} \, dt$$
5단계: 적분 계산하기
$\frac{1}{t}$의 부정적분은 $\ln|t|$이므로, 위 정적분을 계산하면 다음과 같습니다.
$$V = \Big[ \ln|t| \Big]_{1}^{e+1} = \ln(e+1) - \ln 1$$
$\ln 1 = 0$이므로, 최종 부피는 다음과 같습니다.
$$V = \ln(e+1)$$
답
**① $\ln(e+1)$**
확인해보기
만약 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정사각형이 아니라, 한 변의 길이가 $y$인 정삼각형이었다면 부피는 원래 구한 부피의 몇 배가 될까요? (힌트: 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형의 넓이 공식을 생각해 보세요.)