어떤 문제인가
이 문제는 주어진 합성함수의 성질과 역함수의 미분법을 결합한 고난도 미적분 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 접선의 방정식과 미분계수의 의미: 곡선 위의 한 점에서의 접선이 $x$축($y=0$)이라는 것은, 그 점에서의 **함숫값도 $0$이고 접선의 기울기(미분계수)도 $0$**이라는 뜻입니다.
- 역함수가 존재할 조건: 연속함수가 역함수를 가지려면 함수가 일대일 대응이어야 합니다. 즉, 함수가 계속 증가하거나 계속 감소해야 합니다.
- 역함수의 미분법: $g(x)$의 역함수가 $h(x)$일 때, $h'(b) = \frac{1}{g'(a)}$ (단, $g(a) = b$)가 성립합니다.
단계별 풀이
1단계: 접선의 조건으로 $f(1)$과 $f'(1)$ 구하기
곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(0, g(0))$에서의 접선이 $x$축($y=0$)이므로 다음 두 가지 식을 세울 수 있습니다.
- 함숫값: $g(0) = 0$
- 미분계수(기울기): $g'(0) = 0$
먼저 $g(x) = f(e^x) + e^x$에 $x=0$을 대입해 봅시다.
$$g(0) = f(e^0) + e^0 = f(1) + 1 = 0$$
따라서, **$f(1) = -1$** 입니다.
이제 $g(x)$를 미분해 봅시다. 합성함수의 미분법을 사용해야 합니다.
$$g'(x) = f'(e^x) \cdot e^x + e^x = e^x \{ f'(e^x) + 1 \}$$
여기에 $x=0$을 대입하면,
$$g'(0) = e^0 \{ f'(e^0) + 1 \} = 1 \cdot \{ f'(1) + 1 \} = 0$$
따라서, **$f'(1) = -1$** 입니다.
2단계: 역함수가 존재할 조건을 이용하여 삼차함수 $f(x)$ 결정하기
함수 $g(x)$가 역함수를 가지려면 일대일 대응이어야 합니다. $x \to \infty$일 때 $g(x) \to \infty$이므로, $g(x)$는 실수 전체에서 증가하는 함수여야 합니다. 즉, 모든 실수 $x$에 대해 $g'(x) \ge 0$이어야 합니다.
$$g'(x) = e^x \{ f'(e^x) + 1 \} \ge 0$$
여기서 $e^x$는 항상 양수($e^x > 0$)이므로, 우리는 다음 조건을 얻을 수 있습니다.
$$f'(e^x) + 1 \ge 0$$
이때 $e^x = t$로 치환하면, $t > 0$인 모든 실수 $t$에 대해 다음이 성립해야 합니다.
$$f'(t) + 1 \ge 0$$
그런데 1단계에서 $f'(1) = -1$임을 구했습니다. 즉, $t=1$일 때 $f'(1) + 1 = 0$이 됩니다.
$t > 0$에서 항상 $0$ 이상이어야 하는 이차식 $f'(t) + 1$이 $t=1$에서 딱 $0$이 된다는 것은, **$t=1$이 이 식의 최솟값이자 접점**이라는 뜻입니다.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$라고 두면,
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$
이므로, $f'(t) + 1 = 3t^2 + 2at + b + 1$은 아래로 볼록한 이차함수입니다.
이 이차함수가 $t=1$에서 $x$축에 접해야 하므로 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$f'(t) + 1 = 3(t-1)^2 = 3t^2 - 6t + 3$$
이를 비교하면,
$$2a = -6 \implies a = -3$$
$$b + 1 = 3 \implies b = 2$$
따라서 $f'(t) = 3t^2 - 6t + 2$가 됩니다.
또한, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + c$이고 $f(1) = -1$이므로 대입하면,
$$f(1) = 1 - 3 + 2 + c = -1 \implies c = -1$$
최종적으로 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$$
3단계: 역함수의 미분법으로 $h'(8)$ 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $h'(8)$입니다. 역함수의 미분 공식에 의해,
$$h'(8) = \frac{1}{g'(x_0)} \quad (\text{단, } g(x_0) = 8)$$
를 만족하는 $x_0$를 먼저 찾아야 합니다.
$g(x_0) = 8$을 만족하는 $x_0$를 찾기 위해 식을 세워봅시다. $e^{x_0} = t$라 하면 ($t > 0$),
$$g(x_0) = f(e^{x_0}) + e^{x_0} = f(t) + t = 8$$
$$t^3 - 3t^2 + 2t - 1 + t = 8$$
$$t^3 - 3t^2 + 3t - 9 = 0$$
이 방정식을 인수분해해 봅시다.
$$t^2(t-3) + 3(t-3) = 0$$
$$(t^2+3)(t-3) = 0$$
$t$는 양의 실수이므로 **$t = 3$** 입니다. 즉, $e^{x_0} = 3$ (또는 $x_0 = \ln 3$) 일 때 $g(x_0) = 8$이 됩니다.
이제 $g'(x_0)$의 값을 구해봅시다. $e^{x_0} = 3$을 $g'(x)$ 식에 대입합니다.
$$g'(x_0) = e^{x_0} \{ f'(e^{x_0}) + 1 \} = 3 \{ f'(3) + 1 \}$$
$f'(t) = 3t^2 - 6t + 2$에 $t=3$을 대입하면,
$$f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) + 2 = 27 - 18 + 2 = 11$$
따라서,
$$g'(x_0) = 3 \times (11 + 1) = 36$$
역함수의 미분법에 의해 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$h'(8) = \frac{1}{g'(x_0)} = \frac{1}{36}$$
답
**① $\frac{1}{36}$**
확인해보기
단계별 풀이의 2단계에서, 함수 $g(x)$가 역함수를 갖기 위해 $g'(x) \ge 0$이어야 했습니다. 만약 어떤 함수 $y=K(x)$의 도함수 $K'(x)$의 부호가 양수에서 음수로 바뀌는 지점이 존재한다면, 이 함수는 왜 역함수를 가질 수 없는지 그 이유를 '일대일 대응'의 개념을 사용하여 스스로 설명해 보세요.