어떤 문제인가
이 문제는 곡선과 접선, 그리고 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고, 그 넓이 함수를 미분하여 특정 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 접선의 방정식: 곡선 위의 한 점에서의 접선의 식을 세울 수 있어야 합니다.
- 함수의 오목과 볼록(이계도함수): 곡선과 접선 중 어느 쪽이 위에 있는지 판단하기 위해 그래프의 모양을 확인해야 합니다.
- 정적분으로 정의된 함수의 미분과 부분적분법: 넓이 식을 미분하고 적분하는 계산 과정을 효율적으로 처리해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 곡선의 모양을 파악하고 넓이 $g(t)$ 식 세우기
둘러싸인 부분의 넓이를 구하려면 곡선 $y=f(x)$와 접선 중 어느 그래프가 더 위에 있는지 알아야 합니다. 이를 위해 $f(x)$의 이계도함수 $f''(x)$를 구해 곡선의 오목·볼록을 확인해 봅시다.
주어진 도함수 $f'(x) = -x + e^{1-x^2}$를 $x$에 대해 한 번 더 미분합니다. (합성함수의 미분법 사용)
$$f''(x) = -1 + e^{1-x^2} \cdot (-2x) = -1 - 2x e^{1-x^2}$$
양수 $t$에 대하여 우리가 관심 있는 영역은 $x \ge 0$인 구간입니다.
$x \ge 0$일 때, $2x e^{1-x^2} \ge 0$이므로 $f''(x) < 0$이 됩니다.
이계도함수의 부호가 음수이므로, 곡선 $y=f(x)$는 $x \ge 0$에서 위로 볼록한 모양입니다.
위로 볼록한 곡선에서는 접선이 항상 곡선보다 위에 위치합니다.
따라서 $x=t$에서의 접선의 방정식 $y = f'(t)(x-t) + f(t)$와 곡선 $y=f(x)$, 그리고 $y$축($x=0$)으로 둘러싸인 넓이 $g(t)$는 다음과 같이 정적분으로 식을 세울 수 있습니다.
$$g(t) = \int_{0}^{t} \left[ \{f'(t)(x-t) + f(t)\} - f(x) \right] dx$$
2단계: $g(1)$ 계산하기
먼저 $t=1$일 때의 넓이인 $g(1)$을 구해봅시다. 위 식에 $t=1$을 대입합니다.
$$g(1) = \int_{0}^{1} \left[ f'(1)(x-1) + f(1) - f(x) \right] dx$$
이 식을 적분 성질에 따라 나누어 써 보겠습니다.
$$g(1) = f'(1) \int_{0}^{1} (x-1) dx + f(1) \int_{0}^{1} 1 dx - \int_{0}^{1} f(x) dx$$
각각 계산해 볼까요?
- $\int_{0}^{1} (x-1) dx = \left[ \frac{1}{2}(x-1)^2 \right]_0^1 = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
- $\int_{0}^{1} 1 dx = 1$
따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$g(1) = -\frac{1}{2}f'(1) + f(1) - \int_{0}^{1} f(x) dx$$
여기서 마지막 항인 $\int_{0}^{1} f(x) dx$를 부분적분법을 이용해 변형해 봅시다. ($u=f(x), v'=1$로 둠)
$$\int_{0}^{1} f(x) dx = [x f(x)]_0^1 - \int_{0}^{1} x f'(x) dx = f(1) - \int_{0}^{1} x f'(x) dx$$
이 결과를 $g(1)$ 식에 대입하면 아주 놀라운 일이 일어납니다! $f(1)$이 사라지거든요.
$$g(1) = -\frac{1}{2}f'(1) + f(1) - \left( f(1) - \int_{0}^{1} x f'(x) dx \right)$$
$$g(1) = -\frac{1}{2}f'(1) + \int_{0}^{1} x f'(x) dx$$
이제 구체적인 값을 대입해 봅시다.
- $f'(x) = -x + e^{1-x^2}$ 이므로, $f'(1) = -1 + e^0 = 0$ 입니다.
- 따라서 $g(1) = \int_{0}^{1} x f'(x) dx$ 가 됩니다.
이제 이 정적분을 계산해 봅시다.
$$\int_{0}^{1} x f'(x) dx = \int_{0}^{1} x \left( -x + e^{1-x^2} \right) dx = \int_{0}^{1} \left( -x^2 + x e^{1-x^2} \right) dx$$
- $\int_{0}^{1} -x^2 dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = -\frac{1}{3}$
- $\int_{0}^{1} x e^{1-x^2} dx$는 치환적분($u = 1-x^2$, $du = -2xdx$)을 이용합니다.
$$\int_{0}^{1} x e^{1-x^2} dx = \int_{1}^{0} e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \frac{1}{2}(e-1)$$
두 결과를 더하면 $g(1)$을 얻을 수 있습니다.
$$g(1) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}e - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e - \frac{5}{6}$$
3단계: $g'(t)$ 구하고 $g'(1)$ 계산하기
이번에는 $g(t)$를 미분하여 $g'(t)$를 구해봅시다. 1단계에서 세운 $g(t)$ 식을 적분 변수 $x$와 상관없는 $t$에 관한 식들을 밖으로 빼서 정리합니다.
$$g(t) = f'(t) \int_{0}^{t} (x-t) dx + f(t) \int_{0}^{t} 1 dx - \int_{0}^{t} f(x) dx$$
$$g(t) = f'(t) \left[ \frac{1}{2}(x-t)^2 \right]_0^t + t f(t) - \int_{0}^{t} f(x) dx$$
$$g(t) = -\frac{1}{2}t^2 f'(t) + t f(t) - \int_{0}^{t} f(x) dx$$
이제 양변을 $t$에 대해 미분합니다. 곱의 미분법과 정적분으로 정의된 함수의 미분 성질을 사용합니다.
$$g'(t) = \frac{d}{dt}\left( -\frac{1}{2}t^2 f'(t) \right) + \frac{d}{dt}(t f(t)) - f(t)$$
$$g'(t) = \left( -t f'(t) - \frac{1}{2}t^2 f''(t) \right) + \left( f(t) + t f'(t) \right) - f(t)$$
복잡해 보이지만, 동류항들이 서로 지워지면서 아주 간단해집니다!
- $-t f'(t)$와 $+t f'(t)$가 사라집니다.
- $+f(t)$와 $-f(t)$가 사라집니다.
결국 남는 것은 다음과 같습니다.
$$g'(t) = -\frac{1}{2}t^2 f''(t)$$
여기에 $t=1$을 대입하면,
$$g'(1) = -\frac{1}{2} f''(1)$$
1단계에서 구한 이계도함수 식 $f''(x) = -1 - 2x e^{1-x^2}$에 $x=1$을 대입하면,
$$f''(1) = -1 - 2(1)e^0 = -3$$
따라서,
$$g'(1) = -\frac{1}{2} \cdot (-3) = \frac{3}{2}$$
4단계: 최종 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $g(1) + g'(1)$입니다.
$$g(1) + g'(1) = \left( \frac{1}{2}e - \frac{5}{6} \right) + \frac{3}{2}$$
$$g(1) + g'(1) = \frac{1}{2}e - \frac{5}{6} + \frac{9}{6} = \frac{1}{2}e + \frac{4}{6} = \frac{1}{2}e + \frac{2}{3}$$
답
정답은 ②번인 $\frac{1}{2}e + \frac{2}{3}$ 입니다.
확인해보기
이 문제의 1단계에서 우리는 $f''(x) < 0$임을 확인하여 접선이 곡선보다 위에 있음을 알아내고 넓이 식을 세웠습니다.
**만약 어떤 함수 $h(x)$가 모든 실수에서 아래로 볼록($h''(x) > 0$)할 때, 이 곡선과 접선 및 $y$축으로 둘러싸인 넓이 식은 어떻게 세워야 할까요?** 스스로 식을 적어보며 개념을 다져보세요!