어떤 문제인가
이 문제는 무한등비급수와 수열의 주기성, 그리고 지수부등식을 결합한 아주 훌륭한 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 등비급수의 수렴 조건과 합: 등비수열 $a_n = a r^{n-1}$의 무한한 합(급수)이 수렴할 조건($|r| < 1$)과 그 합을 구하는 공식 $\frac{a}{1-r}$을 이용합니다.
- 절댓값이 포함된 급수의 성질: $|a_n| + a_n$과 $|a_n| - a_n$의 값을 통해 수열의 첫째항과 공비의 부호를 결정합니다.
- 주기성을 갖는 부호의 처리: $(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}$의 규칙성을 찾아 복잡한 급수를 단순한 형태로 바꿉니다.
단계별 풀이
1단계: 등비수열 $a_n$의 첫째항 $a$와 공비 $r$ 구하기
먼저 주어진 두 식을 연립하여 수열의 정보를 찾아봅시다.
편의상 $\sum_{n=1}^{\infty} (|a_n| + a_n) = \frac{40}{3}$을 (식 1), $\sum_{n=1}^{\infty} (|a_n| - a_n) = \frac{20}{3}$을 (식 2)라고 합시다.
두 식을 더하면 $a_n$ 항이 사라집니다.
$$(\text{식 1}) + (\text{식 2}) \implies \sum_{n=1}^{\infty} 2|a_n| = \frac{60}{3} = 20$$
따라서, 절댓값 수열의 급수는 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = 10 \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
이번에는 두 식을 빼봅시다.
$$(\text{식 1}) - (\text{식 2}) \implies \sum_{n=1}^{\infty} 2a_n = \frac{20}{3}$$
따라서, 원래 수열의 급수는 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{10}{3} \quad \cdots \text{ (식 4)}$$
이제 등비수열 $a_n = a r^{n-1}$ (단, 수렴하므로 $|r| < 1$)이라 두고 $a$와 $r$을 구합시다.
만약 공비 $r$이 $0$ 이상($r \ge 0$)이라면, 모든 항의 부호가 첫째항과 같으므로 $\sum |a_n|$과 $\sum a_n$의 절댓값이 같아야 합니다. 하지만 두 값은 $10$과 $\frac{10}{3}$으로 다릅니다. 따라서 **공비 $r$은 음수($r < 0$)**여야 합니다.
또한, (식 4)의 합이 양수($\frac{10}{3} > 0$)이므로 **첫째항 $a$는 양수($a > 0$)**여야 합니다.
이를 바탕으로 공식을 적용해 봅시다.
- 수열 $|a_n|$은 첫째항이 $|a| = a$이고 공비가 $|r| = -r$인 등비수열입니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \frac{a}{1 - (-r)} = \frac{a}{1+r} = 10 \implies a = 10(1+r) \quad \cdots \text{ (식 5)}$$
- 수열 $a_n$은 첫째항이 $a$이고 공비가 $r$인 등비수열입니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{3} \implies a = \frac{10}{3}(1-r) \quad \cdots \text{ (식 6)}$$
(식 5)와 (식 6)을 같다고 놓으면,
$$10(1+r) = \frac{10}{3}(1-r)$$
$$3(1+r) = 1-r \implies 3 + 3r = 1 - r \implies 4r = -2$$
따라서 공비 $r = -\frac{1}{2}$입니다.
이를 (식 5)에 대입하면 첫째항 $a = 10(1 - \frac{1}{2}) = 5$가 됩니다.
즉, 일반항은 **$a_n = 5 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$**입니다.
2단계: 복잡한 급수 식 단순화하기
이제 문제에 주어진 극한 식을 살펴봅시다.
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} \left( (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \times a_{m+k} \right) > \frac{1}{700}$$
여기서 부호를 결정하는 $b_k = (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}$의 값을 $k=1$부터 차례대로 대입해 규칙성을 찾아봅시다.
- $k=1 \implies (-1)^1 = -1$
- $k=2 \implies (-1)^3 = -1$
- $k=3 \implies (-1)^6 = 1$
- $k=4 \implies (-1)^{10} = 1$
- $k=5 \implies (-1)^{15} = -1$
- $k=6 \implies (-1)^{21} = -1$
부호가 **$-1, -1, 1, 1$**로 4개를 주기로 반복됨을 알 수 있습니다!
이 무한급수를 $S$라고 하고, 4개씩 묶어서 계산해 봅시다. ($a_{m+k} = a_m \cdot r^k$ 임을 이용합니다.)
첫 4개 항의 합은 다음과 같습니다.
$$-a_{m+1} - a_{m+2} + a_{m+3} + a_{m+4}$$
$$= -a_m r - a_m r^2 + a_m r^3 + a_m r^4$$
$$= a_m (-r - r^2 + r^3 + r^4)$$
여기에 $r = -\frac{1}{2}$을 대입하면,
$$-r - r^2 + r^3 + r^4 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{8 - 4 - 2 + 1}{16} = \frac{3}{16}$$
즉, 첫 4개 항의 합은 $\frac{3}{16} a_m$입니다.
그다음 4개 항은 여기에 $r^4 = \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$배를 한 것이 되므로, 이 급수는 첫째항이 $\frac{3}{16} a_m$이고 공비가 $\frac{1}{16}$인 등비급수가 됩니다.
따라서 급수의 합은 다음과 같이 간단해집니다.
$$S = \frac{\frac{3}{16} a_m}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{3}{16} a_m}{\frac{15}{16}} = \frac{3}{15} a_m = \frac{1}{5} a_m$$
3단계: 부등식 풀고 자연수 $m$ 구하기
이제 최종 부등식을 풀어봅시다.
$$\frac{1}{5} a_m > \frac{1}{700}$$
$a_m = 5 \left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1}$을 대입하면,
$$\frac{1}{5} \cdot 5 \left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1} > \frac{1}{700}$$
$$\left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1} > \frac{1}{700}$$
우변인 $\frac{1}{700}$이 양수이므로, 좌변도 반드시 양수여야 합니다.
음수($-\frac{1}{2}$)의 거듭제곱이 양수가 되려면, 지수인 **$m-1$이 반드시 짝수**여야 합니다. (즉, $m$은 홀수여야 합니다.)
$m-1$이 짝수일 때, 부등식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{m-1} > \frac{1}{700}$$
양변의 역수를 취하면 부등호 방향이 바뀝니다.
$$2^{m-1} < 700$$
이 조건을 만족하는 짝수 $m-1$의 범위를 찾아봅시다.
- $2^0 = 1 < 700$ (가능, $m-1=0 \implies m=1$)
- $2^2 = 4 < 700$ (가능, $m-1=2 \implies m=3$)
- $2^4 = 16 < 700$ (가능, $m-1=4 \implies m=5$)
- $2^6 = 64 < 700$ (가능, $m-1=6 \implies m=7$)
- $2^8 = 256 < 700$ (가능, $m-1=8 \implies m=9$)
- $2^{10} = 1024 > 700$ (불가능)
따라서 조건을 만족하는 자연수 $m$은 **$1, 3, 5, 7, 9$**입니다.
이 값들의 합을 구하면,
$$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$$
답
$$25$$
확인해보기
공비가 음수인 등비수열 $x_n$에 대하여, $\sum_{n=1}^{\infty} |x_n| = 6$이고 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n = 2$일 때, 이 수열의 첫째항 $x_1$과 공비 $r$은 각각 얼마일까요? (위의 1단계 풀이 과정을 떠올리며 스스로 계산해 보세요!)