어떤 문제인가
$f(x)=\sin(ax+b+\sin x)$가 두 조건 (가), (나)를 만족할 때 상수 $a$, $b$를 확정하고, 극댓값이 나타나는 점들을 찾아 $n\alpha_1-ab$의 값을 구하는 문제예요. 핵심 아이디어는 세 가지입니다. 첫째, 조건 (가)의 $f(2\pi)=2\pi a+b$는 $\sin(2\pi a+b)=2\pi a+b$ 꼴인데, $\sin u = u$는 오직 $u=0$에서만 성립하므로 $b=-2\pi a$가 즉시 결정돼요. 둘째, 조건 (나)로 $a$를 확정해요. 셋째, $f=\sin(g(x))$에서 내부함수 $g$가 순증가임을 이용하면 극대점을 $g(x)\equiv \frac{\pi}{2}\pmod{2\pi}$인 점으로 찾을 수 있어요.
단계별 풀이
- **조건 (가)에서 $a$, $b$의 관계를 찾아요.** $f(x)=\sin(ax+b+\sin x)$이므로 $f(2\pi)=\sin(2\pi a+b+\sin 2\pi)=\sin(2\pi a+b)$예요. 조건 $f(2\pi)=2\pi a+b$는 $\sin(2\pi a+b)=2\pi a+b$인데, $|\sin u|<|u|\ (u\neq 0)$이므로
$$2\pi a+b=0 \quad\Rightarrow\quad b=-2\pi a$$
가 돼요. 또 $f(0)=\sin b=\sin(-2\pi a)=0$에서 $2\pi a=m\pi$, 즉 $a=\frac{m}{2}$ ($m$은 정수)예요. $1\le a\le 2$이므로
$$a\in\left\{1,\ \tfrac{3}{2},\ 2\right\}$$
로 후보가 좁혀집니다.
- **조건 (나)로 $a$를 확정해요.** $g(x)=ax+b+\sin x$로 두면 $f'(x)=(a+\cos x)\cos(g(x))$예요. 세 후보를 하나씩 검토합니다.
- $a$가 정수($1$ 또는 $2$)이면 $g(x+2\pi)=g(x)+2\pi a$이고 $2\pi a$가 $2\pi$의 정수배이므로 $f'$은 주기 $2\pi$를 가져요. 그러면 $f'(2\pi)=f'(0)$이 되어 조건의 최솟값이 $2\pi$ 이하가 되고, 이는 $4\pi$ 조건에 모순이므로 탈락이에요.
- $a=\tfrac{3}{2}$, $b=-3\pi$일 때: $f'(0)=\left(\tfrac{3}{2}+1\right)\cos(-3\pi)=-\tfrac{5}{2}$예요. 한편 $|f'(t)|\le \tfrac{3}{2}+\cos t \le \tfrac{5}{2}$이므로 $f'(t)=-\tfrac{5}{2}$가 되려면 $\cos t=1$ (즉 $t=2\pi k$, $\sin t=0$)이면서 $\cos\left(3\pi k-3\pi\right)=-1$이어야 해요. 그런데 $\cos(3\pi(k-1))=-1 \Leftrightarrow k-1$이 홀수 $\Leftrightarrow k$가 짝수예요. 최소 양수는 $k=2$, 즉 $t=4\pi$이므로 조건 (나)가 성립해요.
따라서 $a=\tfrac{3}{2}$, $b=-3\pi$입니다.
- 극대점을 찾아요. $g(x)=\tfrac{3}{2}x-3\pi+\sin x$에서 $g'(x)=\tfrac{3}{2}+\cos x\ge \tfrac{1}{2}>0$이므로 $g$는 순증가예요. $f=\sin(g(x))$의 증감의 부호변화는 전적으로 $\cos(g(x))$가 결정하므로, 극대는 정확히
$$g(\alpha)=\frac{\pi}{2}+2m\pi$$
인 점에서 일어나요. 열린구간 $(0,4\pi)$에서 $g$의 치역은 $\left(g(0),g(4\pi)\right)=(-3\pi,\ 3\pi)$이고, 이 안에 들어오는 $\frac{\pi}{2}+2m\pi$ 값은
$$-\frac{3\pi}{2}\ (m=-1),\quad \frac{\pi}{2}\ (m=0),\quad \frac{5\pi}{2}\ (m=1)$$
의 $3$개예요. 따라서 $n=3$이에요. 가장 작은 극대점 $\alpha_1$은 $g(\alpha_1)=-\frac{3\pi}{2}$의 해인데, $\tfrac{3}{2}x+\sin x=\tfrac{3\pi}{2}$에 $x=\pi$를 대입하면 $\tfrac{3\pi}{2}+0=\tfrac{3\pi}{2}$로 성립하고 좌변이 순증가이므로 이 해가 유일해요. 즉 $\alpha_1=\pi$입니다.
- 값을 계산해요.
$$n\alpha_1-ab=3\pi-\frac{3}{2}\cdot(-3\pi)=3\pi+\frac{9\pi}{2}=\frac{15}{2}\pi.$$
$p=2$, $q=15$는 서로소인 자연수이므로 $p+q=17$이에요.
검산
수치로 직접 확인해 볼 수 있어요. $a=1,\ 2$ (각각 $b=-2\pi a$)에서는 $f'(t)=f'(0)$인 최소 양수 $t$가 $2\pi$로 나와 탈락이 맞고, $a=\tfrac{3}{2}$에서만 최소 $t=4\pi\ (=12.56637)$가 되어 조건 (나)가 성립해요. 또 $a=\tfrac{3}{2},\ b=-3\pi$에서 구간 $(0,4\pi)$의 극대점을 촘촘히 훑어 보면 정확히 3개 — $\alpha=\pi,\ 2.2056\pi,\ 3.7944\pi$ (모두 $f=1$) — 로 $n=3$, $\alpha_1=\pi$와 일치하고, $n\alpha_1-ab=23.56194\cdots=7.5\pi=\frac{15}{2}\pi$도 수치로 일치함을 확인할 수 있어요.
답
$$p+q=2+15=\boxed{17}$$
확인해보기
3단계에서 극소가 아니라 극대가 되는 조건이 $g(\alpha)=\frac{\pi}{2}+2m\pi$인 이유는 무엇일까요? $g$가 순증가라는 사실을 이용해 $f=\sin(g(x))$의 증가·감소가 어떻게 바뀌는지 스스로 설명해 보세요.