어떤 문제인가
이 문제는 거듭제곱근과 분수 형태의 지수가 섞여 있는 식을 간단히 정리하여 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸기: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ (단, $a > 0$)
- 밑을 소인수분해하여 통일하기: 지수법칙을 쓰기 위해 밑을 같게 만들어 줍니다.
- 지수법칙 (곱셈): 밑이 같을 때, 두 수를 곱하면 지수끼리 더합니다. ($a^m \times a^n = a^{m+n}$)
단계별 풀이
1단계: 거듭제곱근을 분수 지수 형태로 바꾸기
식의 첫 번째 부분인 $\sqrt[3]{5}$를 지수 법칙을 사용하기 편하게 분수 지수 형태로 바꾸어 봅시다.
공식 $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$을 적용하면 다음과 같습니다.
$$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$$
2단계: 밑을 $5$로 통일하기
식의 두 번째 부분인 $25^{\frac{1}{3}}$에서 밑인 $25$는 $5^2$으로 나타낼 수 있습니다. 밑을 $5$로 통일하여 식을 다시 써 봅시다.
$$25^{\frac{1}{3}} = (5^2)^{\frac{1}{3}}$$
지수법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$을 이용하여 괄호를 풀어주면 다음과 같이 정리됩니다.
$$(5^2)^{\frac{1}{3}} = 5^{2 \times \frac{1}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$$
3단계: 지수법칙을 이용하여 곱하기
이제 원래 식에 우리가 구한 값들을 대입하여 계산해 봅시다.
$$\sqrt[3]{5} \times 25^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{2}{3}}$$
밑이 $5$로 서로 같으므로, 지수법칙 $a^m \times a^n = a^{m+n}$에 의해 두 지수를 더해줍니다.
$$5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}$$
지수를 더하면 $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$이 되므로, 최종 식은 다음과 같습니다.
$$5^1 = 5$$
답
⑤ 5
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 다음 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> 질문: $\sqrt{3} \times 9^{\frac{1}{4}}$의 값은 얼마일까요? (힌트: $\sqrt{3}$은 $\sqrt[2]{3}$과 같습니다.)