어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수 $f(x) = a \cos bx + 3$의 최댓값 조건과 그 최댓값을 갖는 $x$의 값을 이용하여 자연수 $a, b$를 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 코사인 함수의 최댓값: $y = \cos \theta$의 최댓값은 $1$입니다.
- 함수의 최댓값 조건: $a$가 자연수(양수)일 때, $f(x) = a \cos bx + 3$의 최댓값은 $\cos bx = 1$일 때 가집니다.
- 코사인 함수가 1이 되는 조건: $\cos \theta = 1$을 만족하는 $\theta$의 값은 $2\pi$의 정수 배입니다.
단계별 풀이
1단계: 최댓값을 이용하여 자연수 $a$ 구하기
함수 $f(x) = a \cos bx + 3$에서 $a$와 $b$는 자연수라고 문제에서 주어졌습니다.
$a > 0$이므로, 코사인 함수 $\cos bx$가 가장 큰 값인 $1$을 가질 때 함수 $f(x)$도 최댓값을 갖게 됩니다.
따라서 $f(x)$의 최댓값은 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$\text{최댓값} = a \cdot (1) + 3 = a + 3$$
문제에서 최댓값이 $13$이라고 했으므로,
$$a + 3 = 13$$
$$a = 10$$
이렇게 아주 간단하게 $a$의 값을 먼저 구했습니다!
2단계: 최댓값을 갖는 $x$의 위치를 이용하여 $b$의 조건 구하기
문제에서 $x = \frac{\pi}{3}$에서 최댓값 $13$을 갖는다고 했습니다. 즉, $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 13$이 되어야 합니다.
앞서 구한 $a = 10$을 대입하여 식을 써보면,
$$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 10 \cos\left(b \cdot \frac{\pi}{3}\right) + 3 = 13$$
이 식을 정리해 봅시다. 양변에서 $3$을 빼면,
$$10 \cos\left(\frac{b\pi}{3}\right) = 10$$
양변을 $10$으로 나누면,
$$\cos\left(\frac{b\pi}{3}\right) = 1$$
3단계: 자연수 $b$의 최솟값 구하기
코사인 값이 $1$이 되려면 각도(정의역)가 $2\pi$의 정수 배가 되어야 합니다. 즉,
$$\frac{b\pi}{3} = 2k\pi \quad (단, k는 \, 정수)$$
양변에서 $\pi$를 나누고 $3$을 곱해주면 $b$에 대한 식을 얻을 수 있습니다.
$$b = 6k$$
이때 $b$는 자연수여야 하므로, $k$는 양의 정수($1, 2, 3, \dots$)가 되어야 합니다.
따라서 $b$가 될 수 있는 값들은 다음과 같습니다.
$$b = 6, 12, 18, 24, \dots$$
4단계: $a+b$의 최솟값 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $a+b$의 최솟값입니다.
$a$는 $10$으로 고정되어 있으므로, $a+b$가 최소가 되려면 $b$가 가장 작은 값이어야 합니다.
자연수 $b$의 최솟값은 $6$이므로,
$$a + b \text{의 최솟값} = 10 + 6 = 16$$
답
③ 16
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> [질문]
> 만약 함수가 $f(x) = a \sin bx + 3$ 이고 ($a, b$는 자연수), 이 함수가 $x = \frac{\pi}{6}$에서 최댓값 $13$을 갖는다면, 이때 자연수 $b$가 가질 수 있는 가장 작은 값(최솟값)은 무엇일까요? (힌트: 사인 함수 $\sin \theta$가 $1$이 되는 조건을 생각해 보세요!)