어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 점의 위치 식을 보고, 특정 순간(운동 방향이 바뀔 때)의 가속도를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 위치, 속도, 가속도의 관계: 위치를 미분하면 속도가 되고, 속도를 미분하면 가속도가 됩니다.
- 운동 방향이 바뀐다는 것의 의미: 수직선 위에서 운동 방향이 바뀐다는 것은 **속도 $v$의 부호가 바뀐다**는 뜻이며, 이때 속도는 $0$이 됩니다.
- 시간의 범위: 시간 $t$는 항상 $0$보다 크거나 같습니다 ($t \ge 0$).
단계별 풀이
1단계: 속도 식 $v(t)$ 구하기
점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 언제 바뀌는지 알기 위해서는 먼저 속도 식을 구해야 합니다. 속도 $v(t)$는 위치 $x(t)$를 시각 $t$에 대해 미분하여 구합니다.
$$x = t^3 - \frac{3}{2}t^2 - 6t$$
이 식을 $t$에 대해 미분해 봅시다.
$$v(t) = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 3t - 6$$
2단계: 운동 방향이 바뀌는 시각 $t$ 구하기
운동 방향이 바뀌는 순간은 속도 $v(t)$가 $0$이 되면서 그 전후로 속도의 부호가 바뀌는 때입니다. 속도가 $0$이 되는 시각 $t$를 찾아봅시다.
$$3t^2 - 3t - 6 = 0$$
양변을 $3$으로 나누어 인수분해를 합니다.
$$t^2 - t - 2 = 0$$
$$(t-2)(t+1) = 0$$
따라서 $t = 2$ 또는 $t = -1$입니다.
하지만 시간 $t$는 출발 이후이므로 $t \ge 0$이어야 합니다.
따라서 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 시각은 **$t = 2$**입니다.
*(실제로 $t=2$ 좌우에서 속도의 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로 운동 방향이 바뀌는 것이 맞습니다.)*
3단계: 가속도 식 $a(t)$ 구하기
이제 가속도를 구할 차례입니다. 가속도 $a(t)$는 속도 $v(t)$를 시각 $t$에 대해 한 번 더 미분하여 구합니다.
$$v(t) = 3t^2 - 3t - 6$$
이 식을 $t$에 대해 미분해 봅시다.
$$a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 3$$
4단계: $t=2$에서의 가속도 계산하기
우리가 구하고자 하는 것은 운동 방향이 바뀌는 시각($t=2$)에서의 가속도입니다. 가속도 식에 $t=2$를 대입합니다.
$$a(2) = 6 \times 2 - 3 = 12 - 3 = 9$$
따라서 구하는 가속도는 $9$입니다.
답
**② $9$**
확인해보기
> 질문: 만약 어떤 물체의 위치 식이 $x = t^2 - 4t$로 주어졌다면, 이 물체가 출발한 후 운동 방향을 바꾸는 시각은 언제이며, 그때의 위치는 어디일까요? 스스로 계산해 보세요!