어떤 문제인가
이 문제는 주어진 수열의 합을 이용해서 새로운 수열의 일반항을 찾아내고, 최종적으로 원하는 수열의 합을 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 수열의 합과 일반항 사이의 관계: 수열의 합 $S_n$이 주어졌을 때, 일반항 $a_n$은 $a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$)을 이용해 구합니다.
- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n = a + (n-1)d$입니다.
- **시그마($\sum$)의 기본 공식**: 자연수의 거듭제곱의 합 공식($\sum k$, $\sum k^2$)을 활용합니다.
이 개념들을 하나씩 적용해가며 차근차근 풀어봅시다!
단계별 풀이
1단계: 수열의 합을 이용하여 일반항 모양 찾기
문제에서 주어진 식은 어떤 수열의 합입니다. 편의상 이 합을 $S_n$이라 하고, 더해지는 일반항을 $c_k = \frac{a_k}{b_{k+1}}$라고 해봅시다.
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_{k+1}} = \frac{1}{2}n^2$$
수열의 합과 일반항의 관계를 이용해 $c_n$을 구해봅시다. $n \ge 2$일 때,
$$c_n = S_n - S_{n-1}$$
$$\frac{a_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}(n-1)^2$$
우변을 전개해서 정리해 볼까요?
$$\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}(n^2 - 2n + 1) = \frac{1}{2}(2n - 1) = n - \frac{1}{2}$$
따라서 $n \ge 2$일 때 다음이 성립합니다.
$$\frac{a_n}{b_{n+1}} = \frac{2n-1}{2}$$
$n=1$일 때도 성립하는지 확인해 봅시다.
$$\frac{a_1}{b_2} = S_1 = \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{1}{2}$$
위의 식 $\frac{2n-1}{2}$에 $n=1$을 대입하면 $\frac{1}{2}$이 되므로, 이 식은 모든 자연수 $n \ge 1$에 대해 성립합니다.
2단계: 등차수열 $\{b_n\}$의 일반항 구하기
우리는 $b_1 = 2$라는 것을 알고 있습니다. 1단계에서 구한 식에 $n=1$을 대입하여 $b_2$를 구해봅시다.
$$\frac{a_1}{b_2} = \frac{1}{2}$$
문제에서 $a_1 = 2$라고 주어졌으므로 대입하면,
$$\frac{2}{b_2} = \frac{1}{2} \implies b_2 = 4$$
$\{b_n\}$은 등차수열이라고 했습니다.
- 첫째항 $b_1 = 2$
- 둘째항 $b_2 = 4$
따라서 공차 $d$는 $4 - 2 = 2$입니다. 등차수열의 일반항 공식에 의해,
$$b_n = 2 + (n-1)\times 2 = 2n$$
이 됩니다. 우리가 필요한 것은 $b_{k+1}$이므로 $n$ 대신 $k+1$을 대입하면,
$$b_{k+1} = 2(k+1)$$
입니다.
3단계: 수열 $\{a_n\}$의 일반항 구하기
이제 1단계에서 구한 관계식에 $b_{k+1}$을 대입하여 $a_k$를 구해봅시다.
$$\frac{a_k}{b_{k+1}} = \frac{2k-1}{2}$$
$$\frac{a_k}{2(k+1)} = \frac{2k-1}{2}$$
양변에 $2(k+1)$을 곱해주면 $a_k$를 깔끔하게 정리할 수 있습니다.
$$a_k = (2k-1)(k+1) = 2k^2 + k - 1$$
4단계: 최종 합 $\sum_{k=1}^{5} a_k$ 계산하기
이제 마지막 단계입니다. 구한 $a_k$를 시그마 식에 넣고 계산해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{5} a_k = \sum_{k=1}^{5} (2k^2 + k - 1)$$
시그마의 성질에 의해 각각 나누어 계산합니다.
$$\sum_{k=1}^{5} a_k = 2\sum_{k=1}^{5} k^2 + \sum_{k=1}^{5} k - \sum_{k=1}^{5} 1$$
여기서 자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용합니다.
- $\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5 \times 6 \times 11}{6} = 55$
- $\sum_{k=1}^{5} k = \frac{5 \times 6}{2} = 15$
- $\sum_{k=1}^{5} 1 = 5$
이 값들을 대입하면,
$$\sum_{k=1}^{5} a_k = 2(55) + 15 - 5 = 110 + 10 = 120$$
답
정답은 **① $120$** 입니다.
확인해보기
수열의 합과 일반항 사이의 관계를 잘 이해했는지 스스로 점검해봅시다.
> 질문: 수열 $\{x_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합이 $S_n = n^2 + 3n$일 때, 이 수열의 일반항 $x_n$을 구하는 식은 무엇이고, $x_1$의 값은 어떻게 구할 수 있을까요? (직접 연습장에 풀며 생각해보세요!)