어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 이용해 삼차함수의 식을 구한 뒤, 두 곡선(또는 직선)으로 둘러싸인 영역의 넓이의 차($B-A$)를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 인수정리를 이용한 삼차함수의 식 세우기: 함숫값이 $0$이 되는 지점을 알면 식을 쉽게 세울 수 있어요.
- 두 곡선 사이의 넓이와 정적분: 두 함수 $y=h(x)$와 $y=k(x)$로 둘러싸인 넓이는 '위의 식에서 아래 식을 뺀 것'을 정적분하여 구합니다.
- 정적분의 구간 합치기 성질: 교점을 기준으로 나누어진 두 넓이의 차를 구할 때, 정적분의 성질을 이용하면 교점의 좌표를 직접 구하지 않고도 한 번에 계산할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 삼차함수 $f(x)$의 식 구하기
먼저 문제에서 주어진 조건들을 사용해 $f(x)$를 구체적인 식으로 나타내 봅시다.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대해 $f(1) = f(2) = 0$이라고 했으므로, 인수정리에 의해 $f(x)$는 $(x-1)$과 $(x-2)$를 인수로 가집니다. 나머지 한 인수를 모르므로 이를 $(x-k)$라고 두면, $f(x)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f(x) = (x-1)(x-2)(x-k)$$
이 식을 전개해 볼까요?
$$f(x) = (x^2 - 3x + 2)(x-k) = x^3 - (k+3)x^2 + (3k+2)x - 2k$$
이제 미분계수 조건인 $f'(0) = -7$을 이용해 $k$를 구해봅시다. $f(x)$를 미분하면,
$$f'(x) = 3x^2 - 2(k+3)x + (3k+2)$$
여기에 $x=0$을 대입하면,
$$f'(0) = 3k+2 = -7$$
$$3k = -9 \quad \implies \quad k = -3$$
따라서 우리가 구하고자 하는 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = (x-1)(x-2)(x+3) = x^3 - 7x + 6$$
2단계: 점 $\text{P}$의 좌표와 직선 $\text{OP}$의 방정식 구하기
원점 $\text{O}(0,0)$와 점 $\text{P}(3, f(3))$를 잇는 선분 $\text{OP}$의 식을 구해야 합니다.
먼저 점 $\text{P}$의 $y$좌표인 $f(3)$을 계산해 봅시다.
$$f(3) = 3^3 - 7(3) + 6 = 27 - 21 + 6 = 12$$
따라서 점 $\text{P}$의 좌표는 $(3, 12)$입니다.
원점 $(0,0)$과 점 $(3, 12)$를 지나는 직선의 기울기는 $\frac{12-0}{3-0} = 4$이므로, 이 직선의 방정식(선분 $\text{OP}$를 포함하는 직선)을 $g(x)$라고 하면 다음과 같습니다.
$$g(x) = 4x$$
3단계: 넓이 $A$와 $B$를 정적분으로 표현하기
선분 $\text{OP}$와 곡선 $y=f(x)$가 만나는 교점 중 원점이 아닌 점을 $\text{Q}$라 하고, 점 $\text{Q}$의 $x$좌표를 $\alpha$라고 해봅시다. (단, 그림을 보면 $0 < \alpha < 3$임을 알 수 있습니다.)
이제 영역 $A$와 $B$의 넓이를 정적분 식으로 나타내 봅시다.
- **영역 $A$**: $x=0$부터 $x=\alpha$까지의 영역입니다. 그림을 보면 이 구간에서는 곡선 $y=f(x)$가 직선 $y=g(x)$보다 위에 있습니다. 따라서 넓이 $A$는 다음과 같습니다.
$$A = \int_{0}^{\alpha} (f(x) - g(x)) \, dx$$
- **영역 $B$**: $x=\alpha$부터 $x=3$까지의 영역입니다. 이 구간에서는 직선 $y=g(x)$가 곡선 $y=f(x)$보다 위에 있습니다. 따라서 넓이 $B$는 다음과 같습니다.
$$B = \int_{\alpha}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx$$
4단계: $B-A$를 하나의 정적분으로 합쳐서 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $B-A$입니다. 식을 그대로 써볼까요?
$$B - A = \int_{\alpha}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx - \int_{0}^{\alpha} (f(x) - g(x)) \, dx$$
여기서 두 번째 항의 피적분 함수인 $(f(x) - g(x))$에 마이너스($-$) 부호를 안으로 넣어주면 $(g(x) - f(x))$가 됩니다!
$$B - A = \int_{\alpha}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx + \int_{0}^{\alpha} (g(x) - f(x)) \, dx$$
정적분의 성질 중에서 $\int_{0}^{\alpha} h(x)dx + \int_{\alpha}^{3} h(x)dx = \int_{0}^{3} h(x)dx$가 성립한다는 것을 알고 있죠? 이를 적용하면 놀랍게도 교점의 좌표 $\alpha$를 구할 필요 없이 하나의 식으로 합쳐집니다!
$$B - A = \int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx$$
이제 피적분 함수 $g(x) - f(x)$를 정리해 봅시다.
$$g(x) - f(x) = 4x - (x^3 - 7x + 6) = -x^3 + 11x - 6$$
이 식을 $0$부터 $3$까지 정적분해 봅시다.
$$B - A = \int_{0}^{3} (-x^3 + 11x - 6) \, dx$$
$$= \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{11}{2}x^2 - 6x \right]_{0}^{3}$$
$$= \left( -\frac{81}{4} + \frac{99}{2} - 18 \right) - 0$$
통분하여 계산해 봅시다. 분모를 $4$로 맞추면,
$$= -\frac{81}{4} + \frac{198}{4} - \frac{72}{4}$$
$$= \frac{-81 + 198 - 72}{4}$$
$$= \frac{45}{4}$$
답
정답은 **⑤ $\frac{45}{4}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 정적분의 성질을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 두 곡선 $y=h(x)$와 $y=k(x)$가 $x=a$와 $x=c$에서 만나고, 그 사이에 또 다른 교점 $x=b$ ($a < b < c$)가 존재합니다.
구간 $[a, b]$에서는 $h(x) \ge k(x)$이고, 구간 $[b, c]$에서는 $k(x) \ge h(x)$일 때, 두 구간에서 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 각각 $S_1, S_2$라고 합시다.
이때 $S_2 - S_1$을 하나의 정적분 기호($\int_a^c$)를 사용하여 나타내면 피적분 함수는 어떻게 될까요?