어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 활용하여 삼각형의 변의 길이를 구하고, 원 위의 점과 직선 사이의 거리를 극대화하여 삼각형의 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- 사인법칙과 코사인법칙: 삼각형의 외접원의 반지름과 변의 길이, 각도 사이의 관계를 밝힙니다.
- 삼각형의 넓이 공식: 두 변과 끼인각의 사인을 이용한 넓이 공식($S = \frac{1}{2}ab\sin C$)을 활용합니다.
- 원 위의 점과 직선 사이의 거리: 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값은 (원의 중심에서 직선까지의 거리) + (원의 반지름)임을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이의 비 구하기
먼저, 문제에서 주어진 비율 관계들을 이용해 세 변 $AB, BC, AC$의 길이의 비를 구해보겠습니다. 편의상 $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$라고 둘게요.
- 사인법칙 적용하기
사인법칙에 의해 $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = 2R$이 성립합니다.
따라서 변의 길이의 비는 사인 값의 비와 같습니다.
$$a : c = \sin A : \sin C = 8 : 5$$
이를 통해 우리는 $a = 8k$, $c = 5k$ ($k > 0$)라고 둘 수 있습니다.
- **선분 $AD$와 $AE$의 길이 구하기**
점 $D$는 $AB$ 위의 점이고, $AD : DB = 3 : 2$이므로,
$$AD = \frac{3}{5}AB = \frac{3}{5}c = \frac{3}{5}(5k) = 3k$$
원 $O$는 점 $A$가 중심이고 $D$를 지나므로, 원의 반지름 $r$은 $AD = 3k$입니다.
점 $E$ 역시 원 $O$ 위의 점이므로, 반지름의 길이에 의해 $AE = AD = 3k$가 됩니다.
- **넓이의 비를 이용하여 $b$ 구하기**
삼각형 $ADE$와 삼각형 $ABC$의 넓이의 비가 $9 : 35$임을 이용해 봅시다. 두 삼각형은 각 $A$를 공유하고 있습니다.
$$\text{삼각형 } ADE \text{의 넓이} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3k \cdot 3k \cdot \sin A = \frac{9}{2}k^2 \sin A$$
$$\text{삼각형 } ABC \text{의 넓이} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 5k \cdot b \cdot \sin A$$
두 넓이의 비를 식으로 세우면 다음과 같습니다.
$$\frac{\text{삼각형 } ADE}{\text{삼각형 } ABC} = \frac{\frac{9}{2}k^2 \sin A}{\frac{5}{2}kb \sin A} = \frac{9k}{5b} = \frac{9}{35}$$
이 식을 정리하면,
$$\frac{k}{5b} = \frac{1}{35} \implies 5b = 35k \implies b = 7k$$
따라서 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이는 다음과 같은 비를 가집니다.
$$a = 8k, \quad b = 7k, \quad c = 5k$$
(조건 $AB < AC$, 즉 $5k < 7k$도 만족합니다.)
2단계: 코사인법칙을 이용해 실제 변의 길이 구하기
이제 세 변의 비를 알았으니, 코사인법칙을 이용해 각 $A$의 코사인 값을 구하고, 외접원의 반지름 $R=7$을 이용해 실제 길이를 구해봅시다.
- **$\cos A$ 구하기**
코사인법칙에 의해,
$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(7k)^2 + (5k)^2 - (8k)^2}{2 \cdot 7k \cdot 5k}$$
$$\cos A = \frac{49k^2 + 25k^2 - 64k^2}{70k^2} = \frac{10k^2}{70k^2} = \frac{1}{7}$$
- **$\sin A$ 구하기**
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$이므로,
$$\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$
- **비례상수 $k$와 실제 변의 길이 구하기**
외접원의 반지름 $R = 7$이므로, 사인법칙을 다시 적용합니다.
$$a = 2R \sin A = 2 \cdot 7 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = 8\sqrt{3}$$
우리가 $a = 8k$라고 두었으므로,
$$8k = 8\sqrt{3} \implies k = \sqrt{3}$$
따라서 실제 길이들은 다음과 같습니다.
* 밑변 $BC = a = 8\sqrt{3}$
* 원 $O$의 반지름 $r = AD = 3k = 3\sqrt{3}$
3단계: 삼각형 $PBC$의 넓이의 최댓값 구하기
삼각형 $PBC$에서 밑변은 $BC$로 고정되어 있습니다. 따라서 이 삼각형의 넓이가 최대가 되려면, 높이가 최대가 되어야 합니다.
- **원의 중심 $A$에서 직선 $BC$까지의 거리 구하기**
먼저 삼각형 $ABC$의 넓이를 두 가지 방법으로 구해서 높이를 찾아봅시다.
$$\text{삼각형 } ABC \text{의 넓이} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot (7\sqrt{3}) \cdot (5\sqrt{3}) \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = 30\sqrt{3}$$
이 넓이는 밑변이 $BC$이고 높이가 점 $A$에서 $BC$에 내린 수선의 길이(거리 $d$)일 때와 같습니다.
$$\text{삼각형 } ABC \text{의 넓이} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot d = 4\sqrt{3} \cdot d$$
따라서,
$$4\sqrt{3} \cdot d = 30\sqrt{3} \implies d = \frac{15}{2}$$
- **최대 높이 $h_{\max}$ 구하기**
원 $O$ 위의 점 $P$에서 직선 $BC$까지의 거리의 최댓값은, 원의 중심 $A$에서 직선 $BC$까지의 거리에 원의 반지름 $r$을 더한 것입니다.
$$h_{\max} = d + r = \frac{15}{2} + 3\sqrt{3}$$
- **삼각형 $PBC$의 넓이의 최댓값 계산하기**
$$\text{넓이의 최댓값} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{\max} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot \left(\frac{15}{2} + 3\sqrt{3}\right)$$
$$= 4\sqrt{3} \cdot \left(\frac{15}{2} + 3\sqrt{3}\right) = 30\sqrt{3} + 12 \cdot 3 = 36 + 30\sqrt{3}$$
답
정답은 ④번인 $36 + 30\sqrt{3}$ 입니다.
확인해보기
만약 문제에서 삼각형 $PBC$의 넓이의 최솟값을 구하라고 했다면, 그때의 높이는 어떻게 구해야 할까요? 식을 세워 스스로 생각해보세요!