어떤 문제인가
이 문제는 주어진 구간별 정의된 함수 $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능할 조건과, 도함수 방정식의 실근의 개수 조건을 결합하여 미지수를 찾아내고 함숫값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 함수의 미분가능성: 경계점($x=0$)에서 좌우 극한값과 미분계수가 같아야 합니다.
- 도함수의 실근과 평행이동: 방정식 $g'(x) \times g'(x-4) = 0$의 근은 $g'(x)=0$의 근을 $x$축 방향으로 $4$만큼 평행이동한 것과 같습니다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 두 근의 합과 곱을 이용해 미지수를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 미분가능성 조건으로 $f(x)$의 식 세우기
함수 $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능하므로, $x=0$에서 연속이고 미분가능해야 합니다.
먼저, $x \le 0$일 때의 함수를 $h(x) = x^3 + ax^2 + 15x + 7$이라 합시다.
$f(x)$는 최고차항의 계수가 음수인 이차함수이므로 $f(x) = px^2 + qx + r$ ($p < 0$)로 놓을 수 있습니다.
- **연속 조건 ($x=0$)**:
$$h(0) = f(0) \implies 7 = r$$
따라서 $f(x) = px^2 + qx + 7$입니다.
- **미분가능 조건 ($x=0$)**:
각각을 미분하면,
$$h'(x) = 3x^2 + 2ax + 15 \implies h'(0) = 15$$
$$f'(x) = 2px + q \implies f'(0) = q$$
두 미분계수가 같아야 하므로 $q = 15$입니다.
따라서 $f(x) = px^2 + 15x + 7$ ($p < 0$)이 되며, $g'(x)$는 다음과 같습니다.
$$g'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 2ax + 15 & (x < 0) \\ 2px + 15 & (x > 0) \end{cases}$$
2단계: $g'(x) = 0$의 실근 분석하기
조건 (나)의 방정식 $g'(x) \times g'(x-4) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 4개라고 했습니다. 이 방정식의 근은 $g'(x) = 0$의 근이거나 $g'(x-4) = 0$의 근입니다.
먼저 $g'(x) = 0$의 근을 영역별로 나누어 생각해 봅시다.
- **$x > 0$ 영역**:
$$2px + 15 = 0 \implies x = -\frac{15}{2p}$$
이때 $p < 0$이므로, 이 근은 항상 양수($>0$)입니다. 이 실근을 $\alpha$라고 합시다. ($\alpha > 0$)
- **$x < 0$ 영역**:
$$3x^2 + 2ax + 15 = 0$$
이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면, $D/4 = a^2 - 45$입니다. 문제에서 $a \neq 3\sqrt{5}$라고 했으므로 $D \neq 0$입니다. 즉, 서로 다른 두 실근을 갖거나 실근을 갖지 않습니다.
- 만약 실근을 갖지 않는다면, $g'(x)=0$의 실근은 오직 $\alpha$ 하나뿐입니다. 이 경우 $g'(x-4)=0$의 실근도 $\alpha+4$ 하나뿐이므로 전체 실근은 최대 2개밖에 안 되어 조건(나)를 만족할 수 없습니다.
- 따라서 $3x^2 + 2ax + 15 = 0$은 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다. 두 근의 곱이 $\frac{15}{3} = 5 > 0$이므로 두 근의 부호는 같습니다. $x < 0$ 영역에서 근이 존재해야 하므로 두 근은 모두 음수여야 합니다. (이를 위해 두 근의 합 $-\frac{2a}{3} < 0$이어야 하므로 $a > 0$입니다.)
이 두 음의 실근을 $\beta_1, \beta_2$ ($\beta_1 < \beta_2 < 0$)라 합시다.
결국 $g'(x) = 0$의 서로 다른 실근의 집합을 $S$라 하면,
$$S = \{\beta_1, \beta_2, \alpha\}$$
원소의 개수는 3개입니다.
3단계: 평행이동을 통한 실근의 개수 조건 적용하기
방정식 $g'(x-4) = 0$의 근의 집합은 $S$의 원소들을 $x$축 방향으로 $4$만큼 평행이동한 집합입니다.
$$S + 4 = \{\beta_1 + 4, \beta_2 + 4, \alpha + 4\}$$
우리가 구하고자 하는 방정식의 실근의 개수는 두 집합의 합집합의 원소의 개수, 즉 $n(S \cup (S+4)) = 4$입니다.
집합의 원소의 개수 공식에 의해,
$$n(S \cup (S+4)) = n(S) + n(S+4) - n(S \cap (S+4))$$
$$4 = 3 + 3 - n(S \cap (S+4)) \implies n(S \cap (S+4)) = 2$$
즉, 두 집합 $S$와 $S+4$는 정확히 2개의 원소를 공유해야 합니다.
크기 순서가 $\beta_1 < \beta_2 < 0 < \alpha$이므로, $4$씩 더해진 값들과 겹치려면 다음과 같은 관계가 성립해야만 합니다.
$$\beta_1 + 4 = \beta_2 \quad \text{and} \quad \beta_2 + 4 = \alpha$$
4단계: 미지수 $a$와 $p$ 구하기
- **$\beta_2 - \beta_1 = 4$ 이용하기**:
$\beta_1, \beta_2$는 이차방정식 $3x^2 + 2ax + 15 = 0$의 두 근입니다. 근과 계수의 관계에 의해,
$$\beta_1 + \beta_2 = -\frac{2a}{3}, \quad \beta_1\beta_2 = 5$$
곱셈공식 변형을 사용하면,
$$(\beta_2 - \beta_1)^2 = (\beta_1 + \beta_2)^2 - 4\beta_1\beta_2$$
$$16 = \frac{4a^2}{9} - 20 \implies \frac{4a^2}{9} = 36 \implies a^2 = 81$$
$a > 0$이므로 **$a = 9$**입니다.
- **두 근 $\beta_1, \beta_2$ 직접 구하기**:
$a=9$를 대입하면 방정식은 $3x^2 + 18x + 15 = 0 \implies 3(x+1)(x+5) = 0$이 됩니다.
따라서 $\beta_1 = -5$, $\beta_2 = -1$입니다.
- **$\alpha$와 $p$ 구하기**:
위에서 구한 관계식 $\alpha = \beta_2 + 4$에 대입하면,
$$\alpha = -1 + 4 = 3$$
$\alpha$는 $2px + 15 = 0$의 근이므로,
$$2p(3) + 15 = 0 \implies 6p = -15 \implies p = -\frac{5}{2}$$
5단계: $g(-2) + g(2)$ 계산하기
이제 완성된 함수 $g(x)$는 다음과 같습니다.
$$g(x) = \begin{cases} x^3 + 9x^2 + 15x + 7 & (x \le 0) \\ -\frac{5}{2}x^2 + 15x + 7 & (x > 0) \end{cases}$$
- **$g(-2)$ 구하기** ($x \le 0$ 식에 대입):
$$g(-2) = (-2)^3 + 9(-2)^2 + 15(-2) + 7 = -8 + 36 - 30 + 7 = 5$$
- **$g(2)$ 구하기** ($x > 0$ 식에 대입):
$$g(2) = -\frac{5}{2}(2)^2 + 15(2) + 7 = -10 + 30 + 7 = 27$$
따라서,
$$g(-2) + g(2) = 5 + 27 = 32$$
답
② 32
확인해보기
만약 조건 (나)에서 실근의 개수가 4개가 아니라 5개였다면, 두 집합 $S$와 $S+4$의 교집합의 원소의 개수 $n(S \cap (S+4))$는 몇 개가 되어야 할까요? 그리고 이때 세 근 $\beta_1, \beta_2, \alpha$ 사이에는 어떤 식의 관계가 성립해야 할지 스스로 생각해 보세요!