어떤 문제인가
이 문제는 서로 다른 밑을 가진 로그방정식을 푸는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 진수 조건: 로그가 정의되기 위해서는 로그의 진수(괄호 안의 식)가 항상 $0$보다 커야 합니다. 방정식을 풀기 전에 반드시 이 범위를 먼저 찾아야 해요.
- 밑 통일하기: 로그방정식을 풀 때는 양변의 로그의 밑을 같게 만들어 주어야 비교하기 쉽습니다. 로그의 성질 중 $\log_a b = \log_{a^2} b^2$을 이용할 거예요.
단계별 풀이
1단계: 진수 조건 확인하기
로그 문제에서 가장 먼저 해야 하고, 또 가장 실수하기 쉬운 부분이 바로 진수 조건을 확인하는 것입니다. 로그의 진수는 항상 양수여야 합니다.
문제에 등장하는 두 로그의 진수를 각각 $0$보다 크다고 놓아봅시다.
- 첫 번째 로그의 진수 조건:
$$x - 3 > 0 \implies x > 3$$
- 두 번째 로그의 진수 조건:
$$3x - 5 > 0 \implies 3x > 5 \implies x > \frac{5}{3}$$
이 두 조건을 동시에 만족해야 하므로, 우리가 구하는 $x$는 반드시 다음 범위를 만족해야 합니다.
$$\text{진수 조건: } x > 3$$
(이 범위를 꼭 기억해 두세요! 마지막에 구한 답이 이 범위에 들어오는지 확인해야 합니다.)
2단계: 로그의 밑 통일하기
주어진 방정식은 다음과 같습니다.
$$\log_2(x-3) = \log_4(3x-5)$$
왼쪽 로그의 밑은 $2$이고, 오른쪽 로그의 밑은 $4$입니다. 밑을 같게 만들어주기 위해 $4 = 2^2$임을 이용합시다.
로그의 성질 중에서 밑과 진수를 동시에 제곱해도 로그의 값은 변하지 않는다는 성질이 있습니다. 즉, $\log_a b = \log_{a^2} b^2$ 입니다.
이 성질을 좌변에 적용해 밑을 $4$로 맞춰봅시다.
$$\log_2(x-3) = \log_{2^2}(x-3)^2 = \log_4(x-3)^2$$
이제 원래 방정식은 다음과 같이 밑이 $4$로 통일된 방정식이 됩니다.
$$\log_4(x-3)^2 = \log_4(3x-5)$$
3단계: 진수끼리 비교하여 방정식 풀기
밑이 같아졌으므로, 이제 로그 기호를 떼고 진수끼리만 비교하면 됩니다.
$$(x-3)^2 = 3x - 5$$
이 이차방정식을 전개해서 풀어봅시다.
$$x^2 - 6x + 9 = 3x - 5$$
우변의 항들을 모두 좌변으로 이항합니다.
$$x^2 - 9x + 14 = 0$$
인수분해를 해볼까요? 곱해서 $14$, 더해서 $-9$가 되는 두 수는 $-2$와 $-7$입니다.
$$(x-2)(x-7) = 0$$
따라서 구한 $x$의 값은 다음과 같습니다.
$$x = 2 \quad \text{또는} \quad x = 7$$
4단계: 진수 조건에 맞는 답 선택하기
마지막으로 1단계에서 구한 **진수 조건($x > 3$)**을 적용할 차례입니다.
- $x = 2$는 $3$보다 작으므로 진수 조건을 만족하지 않습니다. (실제로 원래 식에 $x=2$를 넣으면 $\log_2(-1)$이 되어 정의되지 않습니다.)
- $x = 7$은 $3$보다 크므로 진수 조건을 만족합니다.
따라서 조건을 만족하는 실수 $x$의 값은 $7$뿐입니다.
답
$$x = 7$$
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 아래 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> [스스로 풀기]
> 방정식 $\log_3(x-1) = \log_9(x+5)$를 만족시키는 실수 $x$의 값을 구해보세요. (힌트: 진수 조건을 먼저 구하고, 밑을 $9$로 통일해 보세요!)