어떤 문제인가
이 문제는 미분된 함수(도함수) $f'(x)$가 주어졌을 때, 원래의 함수 $f(x)$를 찾아내고 특정 함숫값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 도함수 $f'(x)$를 적분하여 원래 함수 $f(x)$를 구하는 방법입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 부정적분을 할 때 생기는 상수항으로, 문제에서 주어진 조건($f(1)=6$)을 이용해 구해야 합니다.
단계별 풀이
1. 도함수 $f'(x)$를 적분하여 원래 함수 $f(x)$의 식 세우기
미분의 반대 과정인 부정적분을 이용해 $f(x)$를 구합니다. $f(x)$는 $f'(x)$를 $x$에 대해 적분한 것입니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (9x^2 + 4x) \, dx$$
다항함수의 적분 공식($\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$)을 적용해 볼까요?
$$f(x) = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}x^3\right) + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right) + C$$
$$f(x) = 3x^3 + 2x^2 + C$$
(여기서 $C$는 적분상수입니다. 미분하면 상수가 사라지기 때문에, 적분할 때는 반드시 이 상수 $C$를 붙여주어야 합니다.)
2. 조건 $f(1) = 6$을 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
아직 $C$가 무엇인지 모르기 때문에 완벽한 함수 $f(x)$를 구하지 못했습니다. 문제에서 준 힌트인 $f(1) = 6$을 대입해 봅시다.
$$f(1) = 3(1)^3 + 2(1)^2 + C = 6$$
$$3 + 2 + C = 6$$
$$5 + C = 6$$
따라서 적분상수 $C$의 값은 다음과 같습니다.
$$C = 1$$
이 값을 대입하면 우리가 찾던 함수 $f(x)$가 완성됩니다.
$$f(x) = 3x^3 + 2x^2 + 1$$
3. $f(2)$의 값 계산하기
이제 완성된 함수 $f(x)$에 $x = 2$를 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$f(2) = 3(2)^3 + 2(2)^2 + 1$$
$$f(2) = 3(8) + 2(4) + 1$$
$$f(2) = 24 + 8 + 1 = 33$$
답
$$33$$
확인해보기
부정적분을 할 때 **적분상수 $C$**를 왜 꼭 써주어야 할까요? 만약 적분상수를 쓰지 않는다면 어떤 오류가 생길 수 있을지 스스로 생각해 보세요.