어떤 문제인가
이 문제는 주어진 수열의 귀납적 관계식을 이용해서 여러 항의 합을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **수열의 합($\sum$)의 의미**: 기호 $\sum_{n=1}^{16} a_n$이 뜻하는 것은 첫째항 $a_1$부터 제16항 $a_{16}$까지의 합이라는 것을 이해해야 합니다.
- 항들의 짝짓기(관계식 활용): 조건식 $a_n + a_{n+4} = 12$는 "인덱스(번호) 차이가 4만큼 나는 두 항을 더하면 항상 12가 된다"는 규칙을 담고 있습니다. 이 규칙을 이용해 구하고자 하는 합을 두 항씩 짝지어 간단히 나타내는 것이 핵심입니다.
단계별 풀이
1단계: 구하고자 하는 합을 펼쳐서 써보기
우리가 구해야 하는 값은 $\sum_{n=1}^{16} a_n$입니다. 기호의 뜻에 따라 1항부터 16항까지 모두 더한 식으로 펼쳐서 써봅시다.
$$\sum_{n=1}^{16} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + a_{15} + a_{16}$$
총 16개의 항이 더해져 있습니다.
2단계: 조건식을 활용해 짝짓기
문제에서 주어진 조건은 모든 자연수 $n$에 대하여 다음과 같습니다.
$$a_n + a_{n+4} = 12$$
이 식에 $n=1, 2, 3, \dots$을 차례대로 대입해 보면 다음과 같은 유용한 짝들을 찾을 수 있습니다.
- $n=1$ 일 때: $a_1 + a_5 = 12$
- $n=2$ 일 때: $a_2 + a_6 = 12$
- $n=3$ 일 때: $a_3 + a_7 = 12$
- $n=4$ 일 때: $a_4 + a_8 = 12$
마찬가지로 $n=9$부터 다시 대입해 보면 다음과 같습니다.
- $n=9$ 일 때: $a_9 + a_{13} = 12$
- $n=10$ 일 때: $a_{10} + a_{14} = 12$
- $n=11$ 일 때: $a_{11} + a_{15} = 12$
- $n=12$ 일 때: $a_{12} + a_{16} = 12$
3단계: 전체 합 계산하기
1단계에서 펼쳐놓은 16개의 항을 위에서 찾은 8개의 짝으로 묶어봅시다.
$$\sum_{n=1}^{16} a_n = (a_1 + a_5) + (a_2 + a_6) + (a_3 + a_7) + (a_4 + a_8) + (a_9 + a_{13}) + (a_{10} + a_{14}) + (a_{11} + a_{15}) + (a_{12} + a_{16})$$
각 괄호 안의 합은 모두 $12$이므로, 이 식은 다음과 같이 계산됩니다.
$$\sum_{n=1}^{16} a_n = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12$$
즉, $12$가 총 $8$번 더해진 것입니다.
$$\sum_{n=1}^{16} a_n = 12 \times 8 = 96$$
답
$$96$$
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n + a_{n+3} = 10$을 만족시킬 때, $\sum_{n=1}^{12} a_n$의 값은 어떻게 구할 수 있을까요? 위 문제처럼 짝을 지어 생각해보세요.