어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수의 극댓값이 주어졌을 때, 미지수 $a$의 값을 구하고 최종적으로 함수 $f(3)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 도함수와 극대·극소: 함수의 기울기가 $0$이 되는 점($f'(x)=0$)을 찾아 극대와 극소가 되는 위치를 파악합니다.
- 삼차함수의 그래프 개형: 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수의 그래프 모양을 이해하고, 두 극값 중 어느 쪽이 극대인지 판별합니다.
- 대입과 연립: 구한 미지수를 함수에 대입하여 원하는 함숫값을 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$를 미분하여 극값이 될 수 있는 $x$값 찾기
함수가 극대 또는 극소를 가지려면 그 지점에서의 접선의 기울기(도함수)가 $0$이어야 합니다. 먼저 $f(x)$를 $x$에 대해 미분해 봅시다.
$$f(x) = 2x^3 - 3ax^2 - 12a^2x$$
양변을 $x$로 미분하면,
$$f'(x) = 6x^2 - 6ax - 12a^2$$
이 도함수가 $0$이 되는 $x$의 값을 찾기 위해 인수분해를 합니다. 공통인수 $6$으로 묶어볼까요?
$$f'(x) = 6(x^2 - ax - 2a^2) = 0$$
괄호 안의 식은 $(x-2a)(x+a)$로 인수분해가 됩니다.
$$6(x - 2a)(x + a) = 0$$
따라서 $f'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값은 다음과 같이 두 개가 나옵니다.
$$x = -a \quad \text{또는} \quad x = 2a$$
2단계: 어느 곳에서 극댓값을 갖는지 판단하기
문제에서 $a$는 **양수($a > 0$)**라고 했습니다.
따라서 두 값의 대소를 비교하면 $-a < 2a$가 됩니다.
최고차항의 계수가 $2$(양수)인 삼차함수 $f(x)$의 그래프는 오른쪽 위로 올라가는 형태의 곡선입니다. 이 그래프는 왼쪽에서 올라갔다가(극대), 내려갔다가(극소), 다시 올라가는 모양을 가집니다.
즉, 더 작은 $x$ 값에서 극대를 갖고, 더 큰 $x$ 값에서 극소를 갖습니다.
- $x = -a$에서 극대
- $x = 2a$에서 극소
따라서 극댓값은 $f(-a)$가 됩니다.
3단계: 극댓값을 이용하여 $a$의 값 구하기
이제 $x = -a$를 원래 함수 $f(x)$에 대입하여 극댓값을 $a$에 대한 식으로 나타내 봅시다.
$$f(-a) = 2(-a)^3 - 3a(-a)^2 - 12a^2(-a)$$
$$f(-a) = -2a^3 - 3a^3 + 12a^3$$
$$f(-a) = 7a^3$$
문제에서 극댓값이 $\frac{7}{27}$이라고 주어졌으므로, 식을 세울 수 있습니다.
$$7a^3 = \frac{7}{27}$$
양변을 $7$로 나누면,
$$a^3 = \frac{1}{27}$$
$a$는 양의 실수이므로, 세제곱해서 $\frac{1}{27}$이 되는 값은 하나뿐입니다.
$$a = \frac{1}{3}$$
4단계: $f(3)$의 값 구하기
구한 $a = \frac{1}{3}$을 원래 함수 $f(x)$에 대입하여 함수식을 완성합니다.
$$f(x) = 2x^3 - 3\left(\frac{1}{3}\right)x^2 - 12\left(\frac{1}{3}\right)^2x$$
$$f(x) = 2x^3 - x^2 - \frac{12}{9}x$$
$$f(x) = 2x^3 - x^2 - \frac{4}{3}x$$
이제 마지막으로 $f(3)$의 값을 계산해 봅시다. $x$ 자리에 $3$을 대입합니다.
$$f(3) = 2(3)^3 - (3)^2 - \frac{4}{3}(3)$$
$$f(3) = 2(27) - 9 - 4$$
$$f(3) = 54 - 13$$
$$f(3) = 41$$
답
$$41$$
확인해보기
만약 문제에서 $a$가 양수가 아니라 **음수($a < 0$)**라는 조건이 주어졌다면, 함수 $f(x)$는 $x = -a$와 $x = 2a$ 중 어느 곳에서 극댓값을 가질까요? 그 이유를 그래프의 개형과 대소 관계를 이용해 스스로 설명해 보세요.