어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수의 극한 식을 보고, 그것이 의미하는 수학적 개념을 파악하여 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수의 정의: 극한 식 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$가 함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$를 뜻한다는 것을 이해해야 합니다.
- 도함수의 공식 (다항함수의 미분): $x^n$을 미분하면 $n x^{n-1}$이 된다는 공식을 이용해 도함수 $f'(x)$를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 극한 식의 의미 파악하기
문제에서 구하고자 하는 식을 먼저 살펴봅시다.
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$$
이 식은 미분계수의 정의에 의해 함수 $f(x)$의 $x=2$에서의 미분계수(또는 순간변화율), 즉 **$f'(2)$**를 의미합니다.
따라서 우리는 $f'(2)$의 값을 구하면 됩니다.
2단계: 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$ 구하기
$f'(2)$를 구하기 위해, 먼저 함수 $f(x) = x^3 - 8x + 7$의 도함수인 $f'(x)$를 구해보겠습니다.
다항함수의 미분 공식($(x^n)' = n x^{n-1}$)을 적용하면 다음과 같습니다.
- $x^3$을 미분하면 $3x^2$이 됩니다.
- $-8x$를 미분하면 $-8$이 됩니다.
- 상수항 $7$을 미분하면 $0$이 됩니다.
이것들을 모두 더하면 도함수 $f'(x)$는 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 3x^2 - 8$$
3단계: $x=2$ 대입하여 미분계수 구하기
이제 우리가 구한 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 8$에 $x=2$를 대입하여 $f'(2)$의 값을 계산합니다.
$$f'(2) = 3 \times (2)^2 - 8$$
$$f'(2) = 3 \times 4 - 8$$
$$f'(2) = 12 - 8 = 4$$
따라서 구하고자 하는 극한값은 $4$입니다.
답
④ 4
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 다음 문제를 통해 스스로 확인해 보세요.
> 질문: 함수 $g(x) = 2x^2 - 5x + 3$에 대하여 $\lim_{h \to 0} \frac{g(1+h) - g(1)}{h}$의 값은 무엇일까요? 위에서 배운 단계대로 차근차근 구해보세요!