어떤 문제인가
이 문제는 지수함수와 일차함수의 교점의 성질을 이해하고, 주어진 합성함수의 조건과 정역의 범위를 활용하여 특정 함숫값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수법칙과 로그의 정의: 복잡해 보이는 식을 간단히 정리하는 데 사용합니다.
- 함수의 정의역과 치역: 조건이 주어지는 범위($x > k$ 또는 $x < k$)에 따라 어떤 함수식을 적용해야 하는지 구분합니다.
- 합성함수와 치환: $f(f(x)) = 3x$라는 관계식에서 새로운 함수식을 유도하기 위해 치환을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 교점 $k$의 성질을 이용하여 구하고자 하는 값 정리하기
먼저 문제에서 구하라고 한 값인 $f\left(\frac{1}{k^3 \times 5^{3k}}\right)$의 입력값(정의역의 원소)을 간단히 만들어 봅시다.
$k$는 곡선 $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$과 직선 $y=x$가 만나는 점의 $x$좌표이므로, 다음 방정식이 성립합니다.
$$k = \left(\frac{1}{5}\right)^{k-3}$$
우변을 정리해 볼까요? $\frac{1}{5} = 5^{-1}$이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$k = 5^{-(k-3)} = 5^{3-k} = \frac{5^3}{5^k}$$
양변에 $5^k$를 곱하면 아주 예쁜 식이 나옵니다.
$$k \times 5^k = 5^3 = 125$$
우리가 구해야 하는 함숫값의 입력값을 이 식을 이용해 변형해 봅시다.
$$\frac{1}{k^3 \times 5^{3k}} = \frac{1}{(k \times 5^k)^3}$$
여기에 $k \times 5^k = 5^3$을 대입하면,
$$\frac{1}{(5^3)^3} = \frac{1}{5^9} = 5^{-9}$$
즉, 우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 **$f(5^{-9})$**입니다.
2단계: $5^{-9}$가 $k$보다 큰지 작은지 비교하기
문제에서는 $x > k$일 때의 함수식만 알려주었습니다. 우리가 구해야 하는 $5^{-9}$가 $k$보다 큰지 작은지 알아야 어떤 식을 쓸지 결정할 수 있습니다. $k$의 대략적인 크기를 알아봅시다.
교점의 방정식 $x = 5^{3-x}$에서,
- $x=2$일 때: 우변은 $5^{3-2} = 5$이므로, $x < 5^{3-x}$ 입니다.
- $x=3$일 때: 우변은 $5^{3-3} = 1$이므로, $x > 5^{3-x}$ 입니다.
따라서 두 그래프의 교점의 $x$좌표인 $k$는 $2$와 $3$ 사이에 있습니다 ($2 < k < 3$).
우리가 대입해야 할 값은 $5^{-9}$인데, 이 값은 $0$에 아주 가까운 양수입니다.
즉, **$5^{-9} < k$** 입니다.
아쉽게도 $x > k$일 때의 식인 $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$을 $5^{-9}$에 바로 대입할 수는 없습니다. $x < k$일 때의 함수식을 새로 찾아내야 합니다.
3단계: 합성함수 조건을 이용하여 $x < k$일 때의 함수식 구하기
문제에서 $x > k$일 때, 다음 두 조건이 성립한다고 했습니다.
- $f(x) = 5^{3-x}$
- $f(f(x)) = 3x$
여기서 $t > k$인 임의의 실수 $t$에 대해, $x = f(t)$라고 치환해 봅시다.
$t > k$이므로 $x = f(t) = 5^{3-t}$가 됩니다.
이때 $x$의 범위를 생각해 봅시다. $t$가 $k$보다 큰 값을 가질 때, 지수함수 $5^{3-t}$는 감소함수이므로 다음과 같은 범위를 가집니다.
$$0 < 5^{3-t} < 5^{3-k}$$
그런데 1단계에서 $5^{3-k} = k$임을 배웠으므로, $x$의 범위는 다음과 같습니다.
$$0 < x < k$$
이제 합성함수 조건 $f(f(t)) = 3t$에 우리가 치환한 것들을 대입해 봅시다.
$f(t) = x$이므로,
$$f(x) = 3t$$
우리는 $f(x)$를 $x$에 대한 식으로 나타내고 싶으므로, $t$를 $x$로 바꾸어 주어야 합니다.
$x = 5^{3-t}$의 양변에 로그를 취해 $t$에 대해 정리해 봅시다.
$$\log_5 x = 3 - t \implies t = 3 - \log_5 x$$
이 $t$를 $f(x) = 3t$에 대입하면, $0 < x < k$ 범위에서의 함수식 $f(x)$를 얻을 수 있습니다!
$$f(x) = 3(3 - \log_5 x) = 9 - 3\log_5 x$$
4단계: 최종 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $f(5^{-9})$이고, $5^{-9}$는 $0 < 5^{-9} < k$ 범위에 속하므로 방금 구한 식을 사용할 수 있습니다.
$$f(5^{-9}) = 9 - 3\log_5(5^{-9})$$
로그의 성질($\log_5 5^{-9} = -9$)을 이용해 계산하면,
$$f(5^{-9}) = 9 - 3 \times (-9) = 9 + 27 = 36$$
답
$$36$$
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문: 만약 문제에서 $f(1)$의 값을 구하라고 했다면, $f(1) = 5^{3-1} = 25$로 계산해야 할까요, 아니면 $f(1) = 9 - 3\log_5 1 = 9$로 계산해야 할까요? 그 이유는 무엇인가요? (힌트: $1$과 $k$의 대소 관계를 비교해 보세요.)