어떤 문제인가
이 문제는 주어진 극한 조건이 모든 실수에서 만족하도록 하는 삼차함수 $f(x)$의 계수를 결정하고, 이를 통해 $f(1)$의 최댓값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 분수식의 극한의 존재 조건: 분모가 $0$으로 갈 때 극한값이 존재하려면, 분자도 반드시 $0$으로 가야 하며 분모의 인수보다 더 많은(또는 같은) 개수의 인수를 분자가 가지고 있어야 합니다.
- 삼차방정식의 실근의 개수: 실계수 삼차방정식은 반드시 적어도 하나의 실근을 가집니다.
- 이차방정식의 판별식: 실근을 갖지 않을 조건($D < 0$)을 이용해 정수 계수의 범위를 제한합니다.
단계별 풀이
1단계: 극한이 존재할 조건 분석하기
모든 실수 $\alpha$에 대하여 다음 극한값이 존재해야 합니다.
$$\lim_{x \to \alpha} \frac{f(2x+1)}{f(x)}$$
만약 $f(\alpha) \neq 0$이라면, 이 극한값은 단순히 $\frac{f(2\alpha+1)}{f(\alpha)}$라는 실수로 존재하므로 아무런 문제가 없습니다.
하지만 만약 **$f(\alpha) = 0$**이라면(즉, $\alpha$가 $f(x)$의 실근이라면), 분모가 $0$으로 가기 때문에 극한값이 존재하려면 분자도 반드시 $0$으로 가야 합니다. 즉, **$f(2\alpha+1) = 0$**이어야 합니다.
이 성질을 계속 적용해 볼까요?
- $\alpha$가 실근이면, $2\alpha+1$도 실근이어야 합니다.
- $2\alpha+1$이 실근이므로, $2(2\alpha+1)+1 = 4\alpha+3$도 실근이어야 합니다.
- 이 과정은 끝없이 반복되어 무수히 많은 실근을 만들어내게 됩니다.
하지만 $f(x)$는 삼차함수이므로 실근을 최대 3개까지만 가질 수 있습니다. 무수히 많은 실근을 가질 수는 없죠!
이 모순을 피할 수 있는 유일한 방법은 이 수열이 변하지 않고 하나의 값에 머무는 것뿐입니다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립해야 합니다.
$$\alpha = 2\alpha + 1 \implies \alpha = -1$$
따라서, $f(x)$가 가질 수 있는 **유일한 실근은 $x = -1$**뿐입니다.
2단계: $f(x)$의 식 세우기
$f(x)$는 삼차함수이므로 반드시 적어도 하나의 실근을 가져야 합니다. 1단계에서 유일한 실근이 $x = -1$임을 알아냈으므로, $f(x)$는 다음과 같이 인수분해되어야 합니다.
$$f(x) = (x+1)(x^2 + px + q)$$
여기서 뒤의 이차식 $x^2 + px + q = 0$은 실근을 가지면 안 됩니다. (만약 실근을 가지면 그 실근은 $-1$이거나, 혹은 다른 실근이 생겨서 1단계의 모순이 발생하기 때문입니다.)
따라서, 이차식의 판별식 $D$는 $0$보다 작아야 합니다.
$$D = p^2 - 4q < 0 \quad \text{--- (1)}$$
3단계: 계수 비교를 통해 $a, b$와 $p, q$의 관계 찾기
문제에서 주어진 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$와 우리가 세운 식을 전개하여 비교해 봅시다.
$$f(x) = (x+1)(x^2 + px + q) = x^3 + (p+1)x^2 + (p+q)x + q$$
두 식이 같아야 하므로 각 항의 계수를 비교합니다.
- 상수항 비교: $q = 4$
- $x^2$의 계수 비교: $a = p + 1 \implies p = a - 1$
- $x$의 계수 비교: $b = p + q = p + 4$
여기에 $p = a - 1$을 대입하면 $b$를 $a$에 대한 식으로 나타낼 수 있습니다.
$$b = (a-1) + 4 = a + 3$$
4단계: 판별식을 이용하여 $a$의 범위 구하기
이제 (1)번 식의 판별식 조건 $p^2 - 4q < 0$에 우리가 구한 값들을 대입해 봅시다.
$p = a - 1$이고 $q = 4$이므로,
$$(a-1)^2 - 4(4) < 0$$
$$(a-1)^2 - 16 < 0$$
$$(a-1)^2 < 16$$
제곱근을 풀면 다음과 같습니다.
$$-4 < a - 1 < 4$$
$$-3 < a < 5$$
문제에서 $a$는 정수라고 했으므로, 가능한 정수 $a$의 값은 다음과 같습니다.
$$a \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$$
5단계: $f(1)$의 최댓값 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 $f(1)$의 최댓값입니다. $f(1)$을 $a$에 대한 식으로 나타내 봅시다.
$$f(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) + 4 = a + b + 5$$
여기에 $b = a + 3$을 대입하면,
$$f(1) = a + (a+3) + 5 = 2a + 8$$
$f(1)$이 최대가 되려면 정수 $a$의 값이 가장 커야 합니다. $a$의 범위 $-3 < a < 5$에서 가장 큰 정수 $a$는 **$4$**입니다.
따라서 $f(1)$의 최댓값은 다음과 같습니다.
$$f(1)_{\text{max}} = 2(4) + 8 = 16$$
답
$$16$$
확인해보기
만약 $f(x)$가 $x = -1$ 이외에 다른 실근, 예를 들어 $x = 1$을 실근으로 갖는다면, 왜 문제의 조건(모든 실수 $\alpha$에 대해 극한값이 존재한다)을 만족할 수 없는지 설명해 보세요. (힌트: 1단계의 수열을 직접 만들어 보세요!)