어떤 문제인가
이 문제는 주어진 규칙에 따라 변하는 수열 $\{a_n\}$에서, 특정 조건(나)을 만족하는 첫 번째 항 $a_1$의 절대값들의 합을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 수열의 귀납적 정의 (역추적): 다음 항에서 이전 항을 찾아가는 과정을 연습합니다.
- 조건의 해석: "최솟값이 $3$이다"라는 조건이 수열의 각 항에 어떤 제한을 주는지 파악합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)의 규칙을 거꾸로 가는 '역추적' 공식 만들기
수열의 규칙을 보면 $a_n$의 홀짝 여부에 따라 $a_{n+1}$이 결정됩니다. 우리는 $a_3$에서 시작해 $a_1$을 찾아가야 하므로, $a_{n+1}$을 알 때 $a_n$이 될 수 있는 후보를 구하는 '역추적' 규칙을 먼저 세워봅시다.
- **규칙 ① ($|a_n|$이 홀수인 경우):**
$a_{n+1} = a_n - 3 \implies a_n = a_{n+1} + 3$
(단, 이때 구한 $a_n$의 절대값 $|a_n|$은 반드시 홀수여야 합니다.)
- **규칙 ② ($a_n = 0$ 또는 $|a_n|$이 짝수인 경우):**
$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n \implies a_n = 2a_{n+1}$
(단, 이때 구한 $a_n$은 **$0$ 또는 짝수**여야 합니다.)
2단계: $|a_m| = |a_{m+2}|$를 만족하는 값 찾기
조건 (나)에서 $|a_m| = |a_{m+2}|$가 되는 상황을 분석해 봅시다. 어떤 수 $a_m$이 두 단계 뒤에 자기 자신과 절대값이 같아지는지 확인하는 것입니다.
$a_m$의 상태에 따라 나누어 계산해 봅시다.
- **$a_m$이 홀수일 때:**
* $a_{m+1} = a_m - 3$ (짝수가 됨)
* $a_{m+2} = \frac{1}{2}(a_m - 3)$
* $|a_m| = \left|\frac{a_m - 3}{2}\right|$ 을 풀면:
* $2a_m = a_m - 3 \implies a_m = -3$ (홀수 맞음)
* $2a_m = -(a_m - 3) \implies 3a_m = 3 \implies a_m = 1$ (홀수 맞음)
- **$a_m$이 짝수(또는 0)일 때:**
* $a_{m+1} = \frac{1}{2}a_m$
* **만약 $a_{m+1}$이 다시 짝수(또는 0)라면:**
* $a_{m+2} = \frac{1}{4}a_m$
* $|a_m| = \left|\frac{1}{4}a_m\right| \implies a_m = 0$ (0 맞음)
* **만약 $a_{m+1}$이 홀수라면:**
* $a_{m+2} = \frac{1}{2}a_m - 3$
* $|a_m| = \left|\frac{1}{2}a_m - 3\right|$ 을 풀면:
* $a_m = \frac{1}{2}a_m - 3 \implies a_m = -6$ (짝수 맞음, $a_{m+1} = -3$으로 홀수 만족)
* $a_m = -\left(\frac{1}{2}a_m - 3\right) \implies \frac{3}{2}a_m = 3 \implies a_m = 2$ (짝수 맞음, $a_{m+1} = 1$로 홀수 만족)
따라서, $|a_m| = |a_{m+2}|$를 만족하는 $a_m$의 값들은 다음과 같이 딱 5개뿐입니다!
$$\{-6, -3, 0, 1, 2\}$$
이 값들의 집합을 편의상 $S$라고 부릅시다. 즉, $S = \{-6, -3, 0, 1, 2\}$ 입니다.
3단계: 조건 (나) "최솟값이 3이다"의 진짜 의미 파악하기
조건 (나)는 $|a_m| = |a_{m+2}|$를 만족하는 **최소의 자연수 $m$이 $3$**이라고 했습니다.
이 말은 아주 중요한 두 가지 사실을 알려줍니다.
- $m=3$일 때는 성립해야 하므로, **$a_3 \in S$** 이어야 합니다.
- $m=1, 2$일 때는 성립하면 안 되므로, **$a_1 \notin S$ 이고 $a_2 \notin S$** 여야 합니다.
즉, 우리는 $a_3$의 값으로 $\{-6, -3, 0, 1, 2\}$를 하나씩 대입해 보면서 역추적을 하되, **중간에 $a_2$나 $a_1$이 $S$의 원소가 되는 경로는 모두 제외**해야 합니다!
4단계: $a_3$에서 $a_1$로 역추적하기
이제 $a_3$의 후보 5가지에 대해 역추적을 시작해 봅시다.
① $a_3 = -3$ 인 경우
- $a_2$ 구하기:
* 규칙 ①: $a_2 = -3 + 3 = 0$ (하지만 $0$은 홀수가 아니므로 탈락)
* 규칙 ②: $a_2 = 2 \times (-3) = -6$
- 그런데 $a_2 = -6$은 집합 $S$에 포함되므로 ($a_2 \notin S$ 조건 위배) 이 경로는 탈락입니다.
② $a_3 = -6$ 인 경우
- $a_2$ 구하기:
* 규칙 ①: $a_2 = -6 + 3 = -3$ (절대값 $3$은 홀수이므로 가능하지만, $-3 \in S$ 이므로 탈락)
* 규칙 ②: $a_2 = 2 \times (-6) = -12$ ($-12 \notin S$ 이므로 가능!)
- $a_1$ 구하기 ($a_2 = -12$에서 출발):
* 규칙 ①: $a_1 = -12 + 3 = -9$ (절대값 $9$는 홀수이고, $-9 \notin S$ 이므로 가능!) $\implies |a_1| = 9$
* 규칙 ②: $a_1 = 2 \times (-12) = -24$ (짝수이고, $-24 \notin S$ 이므로 가능!) $\implies |a_1| = 24$
③ $a_3 = 0$ 인 경우
- $a_2$ 구하기:
* 규칙 ①: $a_2 = 0 + 3 = 3$ (절대값 $3$은 홀수이고, $3 \notin S$ 이므로 가능!)
* 규칙 ②: $a_2 = 2 \times 0 = 0$ ($0 \in S$ 이므로 탈락)
- $a_1$ 구하기 ($a_2 = 3$에서 출발):
* 규칙 ①: $a_1 = 3 + 3 = 6$ (하지만 $6$은 홀수가 아니므로 탈락)
* 규칙 ②: $a_1 = 2 \times 3 = 6$ (짝수이고, $6 \notin S$ 이므로 가능!) $\implies |a_1| = 6$
④ $a_3 = 1$ 인 경우
- $a_2$ 구하기:
* 규칙 ①: $a_2 = 1 + 3 = 4$ (하지만 $4$는 홀수가 아니므로 탈락)
* 규칙 ②: $a_2 = 2 \times 1 = 2$ ($2 \in S$ 이므로 탈락)
- 가능한 $a_2$가 없으므로 이 경로는 탈락입니다.
⑤ $a_3 = 2$ 인 경우
- $a_2$ 구하기:
* 규칙 ①: $a_2 = 2 + 3 = 5$ (절대값 $5$는 홀수이고, $5 \notin S$ 이므로 가능!)
* 규칙 ②: $a_2 = 2 \times 2 = 4$ (짝수이고, $4 \notin S$ 이므로 가능!)
- $a_1$ 구하기:
* **$a_2 = 5$ 일 때:**
* 규칙 ①: $a_1 = 5 + 3 = 8$ (하지만 $8$은 홀수가 아니므로 탈락)
* 규칙 ②: $a_1 = 2 \times 5 = 10$ (짝수이고, $10 \notin S$ 이므로 가능!) $\implies |a_1| = 10$
* **$a_2 = 4$ 일 때:**
* 규칙 ①: $a_1 = 4 + 3 = 7$ (절대값 $7$은 홀수이고, $7 \notin S$ 이므로 가능!) $\implies |a_1| = 7$
* 규칙 ②: $a_1 = 2 \times 4 = 8$ (짝수이고, $8 \notin S$ 이므로 가능!) $\implies |a_1| = 8$
5단계: 가능한 $|a_1|$의 값 모두 더하기
우리가 찾은 가능한 $|a_1|$의 값들은 다음과 같습니다.
$$24, 9, 6, 10, 7, 8$$
이 값들을 모두 더해봅시다.
$$\text{합} = 24 + 9 + 6 + 10 + 7 + 8 = 64$$
답
$$64$$
확인해보기
수열의 규칙을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 만약 어떤 항 $a_k = 5$ 라면, 다음 항인 $a_{k+1}$과 그 다음 항인 $a_{k+2}$는 각각 얼마가 될까요? 직접 규칙을 적용해 계산해 보세요.