어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질을 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등비수열의 정의와 일반항: 첫째항에 일정한 수(공비)를 곱하여 얻어지는 수열입니다.
- 등비수열의 항 사이의 비율: 등비수열에서 이웃하거나 떨어져 있는 두 항의 비율은 공비($r$)의 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다.
- 이차방정식의 풀이: 식을 정리하여 나오는 이차방정식을 인수분해를 통해 해결합니다.
단계별 풀이
1단계: 등비수열의 성질을 이용해 식 단순화하기
등비수열 $a_n$의 첫째항을 $a_1$, 공비를 $r$이라고 할 때, 각 항은 다음과 같은 관계를 가집니다.
- $a_2 = a_1 \cdot r$
- $a_4 = a_2 \cdot r^2$
이 성질을 이용하면 문제에 주어진 분수 식을 공비 $r$에 대한 식으로 아주 간단하게 바꿀 수 있습니다.
- 첫 번째 항: $\frac{a_4}{a_2} = r^2$
- 두 번째 항: $\frac{a_2}{a_1} = r$
문제에서 첫째항과 공비가 모두 양수 $k$라고 했으므로, 공비 $r = k$입니다.
따라서 주어진 식은 다음과 같이 $k$에 대한 식으로 바뀝니다.
$$\frac{a_4}{a_2} + \frac{a_2}{a_1} = 30$$
$$k^2 + k = 30$$
2단계: 이차방정식 풀기
이제 $k$에 대한 이차방정식을 풀어봅시다. 우변의 $30$을 좌변으로 이항합니다.
$$k^2 + k - 30 = 0$$
이 식을 인수분해하기 위해, 곱해서 $-30$이 되고 더해서 $1$이 되는 두 수를 찾습니다. 그 두 수는 $6$과 $-5$입니다.
$$(k + 6)(k - 5) = 0$$
따라서 $k$의 값은 다음과 같습니다.
$$k = -6 \quad \text{또는} \quad k = 5$$
3단계: 조건에 맞는 $k$ 선택하기
문제의 첫 줄에서 **"첫째항과 공비가 모두 양수 $k$"**라고 했습니다. 즉, $k > 0$이어야 합니다.
따라서 음수인 $-6$은 답이 될 수 없고, 우리가 찾는 양수 $k$의 값은 $5$입니다.
답
⑤ 5
확인해보기
공비가 $r$인 등비수열 $a_n$에서 $\frac{a_{10}}{a_7}$은 공비 $r$을 사용하여 어떻게 나타낼 수 있을까요? 스스로 생각해보세요!