어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$가 모든 실수에서 끊어지지 않고 부드럽게 이어지도록(즉, 연속이 되도록) 하는 상수 $a$의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 함수의 연속(Continuity): 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있다는 뜻입니다. 특정 지점 $x = c$에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.
- 구간별로 정의된 함수: 경계점($x = -2$)을 기준으로 좌우의 함수 식이 다를 때, 경계점에서 두 식의 값이 만나도록 만들어야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 연속이 되기 위한 조건 세우기
함수 $f(x)$를 구성하는 두 식 $5x + a$와 $x^2 - a$는 각각 일차함수와 이차함수이므로, 각자의 구간에서는 끊어짐 없이 항상 연속입니다.
따라서 이 함수가 실수 전체에서 연속이 되려면, 식의 모양이 바뀌는 경계점인 **$x = -2$에서 연속**이어야 합니다. $x = -2$에서 연속일 조건은 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2)$$
즉, **$x = -2$에서의 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야** 합니다.
2단계: 좌극한 구하기
$x$가 $-2$보다 작은 쪽에서 $-2$에 가까워질 때(좌극한)는 $x < -2$ 범위의 식인 $5x + a$를 사용합니다.
$$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} (5x + a)$$
여기에 $x = -2$를 대입하면 다음과 같습니다.
$$5(-2) + a = -10 + a$$
3단계: 우극한과 함숫값 구하기
$x$가 $-2$보다 큰 쪽에서 $-2$에 가까워질 때(우극한)와 $x = -2$일 때(함숫값)는 $x \ge -2$ 범위의 식인 $x^2 - a$를 사용합니다.
$$\lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) = (-2)^2 - a$$
이를 계산하면 다음과 같습니다.
$$4 - a$$
4단계: 두 값이 같다고 놓고 $a$ 구하기
함수가 연속이 되려면 2단계에서 구한 좌극한과 3단계에서 구한 우극한(및 함숫값)이 서로 같아야 합니다. 식을 세워볼까요?
$$-10 + a = 4 - a$$
양변의 $a$를 좌변으로, 상수를 우변으로 이항하여 정리합니다.
$$a + a = 4 + 10$$
$$2a = 14$$
$$a = 7$$
따라서 $a$의 값은 $7$이 됩니다.
답
② 7
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문:
> 함수 $g(x) = \begin{cases} 2x + b & (x < 1) \\ x^2 + 3 & (x \ge 1) \end{cases}$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면, 상수 $b$의 값은 얼마여야 할까요? 위 풀이 과정을 참고하여 직접 식을 세우고 답을 구해보세요.