어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$의 $x=1$에서의 미분계수(또는 순간변화율)인 $f'(1)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 도함수의 정의와 미분법 공식: 다항함수를 미분하는 기본 공식을 알고 있어야 합니다.
- 곱의 미분법: 두 식의 곱으로 이루어진 함수를 미분하는 방법을 활용하면 식을 복잡하게 전개하지 않고도 쉽게 미분할 수 있습니다.
단계별 풀이
이 문제는 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 첫 번째는 곱의 미분법을 이용하는 방법이고, 두 번째는 식을 먼저 전개한 후 미분하는 방법입니다. 두 방법 모두 알아두면 상황에 맞게 유용하게 쓸 수 있으니, 두 가지 모두 살펴볼게요!
방법 1: 곱의 미분법 사용하기 (추천!)
두 함수 $g(x)$와 $h(x)$의 곱으로 이루어진 함수를 미분할 때는 다음과 같은 공식을 사용합니다.
$$\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$$
즉, "앞에 거 미분하고 뒤에 거 그대로, 더하기 앞에 거 그대로 두고 뒤에 거 미분"하는 규칙입니다.
1단계: 곱해진 두 식을 각각 미분해 둡니다.
주어진 함수 $f(x) = (x^2 + 1)(3x^2 - x)$에서,
- 앞에 있는 식을 $g(x) = x^2 + 1$이라 하면, 미분한 식은 $g'(x) = 2x$ 입니다.
- 뒤에 있는 식을 $h(x) = 3x^2 - x$라 하면, 미분한 식은 $h'(x) = 6x - 1$ 입니다.
2단계: 곱의 미분법 공식을 적용하여 $f'(x)$를 구합니다.
공식에 맞춰 식을 써보면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = (2x)(3x^2 - x) + (x^2 + 1)(6x - 1)$$
3단계: $x = 1$을 대입하여 계산합니다.
우리가 구하고자 하는 것은 $f'(1)$이므로, 굳이 위의 식을 복잡하게 전개할 필요 없이 바로 $x=1$을 대입하면 계산이 훨씬 빠르고 정확합니다.
$$f'(1) = \{2 \cdot 1\} \cdot \{3(1)^2 - 1\} + \{(1)^2 + 1\} \cdot \{6(1) - 1\}$$
$$f'(1) = 2 \cdot (3 - 1) + (1 + 1) \cdot (6 - 1)$$
$$f'(1) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 5$$
$$f'(1) = 4 + 10 = 14$$
방법 2: 전개한 후 미분하기
곱의 미분법이 아직 낯설다면, 식을 먼저 다 전개한 뒤에 미분해도 괜찮습니다.
1단계: $f(x)$를 전개합니다.
$$f(x) = (x^2 + 1)(3x^2 - x)$$
$$f(x) = 3x^4 - x^3 + 3x^2 - x$$
2단계: 각 항을 미분하여 $f'(x)$를 구합니다.
다항함수의 미분 공식($(x^n)' = n x^{n-1}$)을 적용합니다.
$$f'(x) = 12x^3 - 3x^2 + 6x - 1$$
3단계: $x = 1$을 대입합니다.
$$f'(1) = 12(1)^3 - 3(1)^2 + 6(1) - 1$$
$$f'(1) = 12 - 3 + 6 - 1 = 14$$
두 방법 모두 결과가 $14$로 똑같이 나오는 것을 확인할 수 있습니다!
답
정답은 **④ $14$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요. (답은 스스로 구해보는 것입니다!)
> 질문: 함수 $g(x) = (x^2 + 2)(2x - 1)$에 대하여 $g'(1)$의 값은 얼마일까요?