어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수 식의 값을 구하는 문제입니다. 복잡해 보이는 식을 간단히 정리하기 위해 우리가 배워야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각함수의 각 변환 공식: $\frac{\pi}{2} \pm \theta$ 형태의 각을 단순한 $\theta$에 대한 삼각함수로 바꾸는 방법입니다.
- 삼각함수의 기본 관계식: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 공식을 활용하여 식을 간단하게 정리하는 방법입니다.
이 두 가지 개념을 적용하면 복잡한 분수식이 아주 간단한 숫자로 변하게 됩니다. 차근차근 같이 풀어볼까요?
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건 식 간단히 하기 (각 변환)
문제에서 주어진 조건은 $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\frac{1}{5}$ 입니다. 좌변의 $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$를 먼저 정리해 봅시다.
- 함수의 변화: 각도에 $\frac{\pi}{2}$가 있으므로, 코사인($\cos$)은 사인($\sin$)으로 바뀝니다.
- 부호 결정: $\frac{\pi}{2} + \theta$는 제2사분면의 각입니다. 제2사분면에서 코사인($\cos$)의 부호는 음수($-$)입니다.
따라서 다음과 같은 변환 공식이 성립합니다.
$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta$$
이 식을 원래 조건에 대입하면,
$$-\sin\theta = -\frac{1}{5}$$
양변에 $-1$을 곱해주면 다음을 얻을 수 있습니다.
$$\sin\theta = \frac{1}{5}$$
2단계: 구하고자 하는 식 정리하기
우리가 구해야 하는 식은 $\frac{\sin\theta}{1 - \cos^2\theta}$ 입니다. 분모에 있는 $1 - \cos^2\theta$를 간단히 만들어 봅시다.
삼각함수의 가장 중요한 공식인 다음 식을 떠올려 보세요.
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
이 식에서 $\cos^2\theta$를 우변으로 이항하면 다음과 같습니다.
$$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$$
즉, 분모의 $1 - \cos^2\theta$는 $\sin^2\theta$와 같습니다. 이를 구하고자 하는 식에 대입해 봅시다.
$$\frac{\sin\theta}{1 - \cos^2\theta} = \frac{\sin\theta}{\sin^2\theta}$$
분모와 분자를 $\sin\theta$로 약분하면 식은 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$\frac{1}{\sin\theta}$$
3단계: 값 대입하여 최종 답 구하기
2단계에서 정리한 식 $\frac{1}{\sin\theta}$에, 1단계에서 구한 $\sin\theta = \frac{1}{5}$을 대입합니다.
$$\frac{1}{\sin\theta} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5$$
따라서 구하고자 하는 값은 $5$입니다.
답
⑤ $5$
확인해보기
오늘 배운 각 변환 공식을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 문제의 조건이 $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{3}{5}$ 으로 주어졌다면, $\cos\theta$의 값은 얼마가 될까요? (힌트: $\frac{\pi}{2} - \theta$는 제1사분면의 각입니다.)