어떤 문제인가
이 문제는 정적분 기호 안에 함수 $f(t)$가 들어가 있고, 적분구간에 변수 $x$가 포함되어 있는 방정식에서 $f(1)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: 적분구간에 변수 $x$가 있을 때, 이 식을 $x$에 대해 미분하면 적분 기호가 사라지고 원래 함수가 나옵니다. 즉, $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ 입니다.
- 다항함수의 미분법: $x^n$을 미분하면 $n x^{n-1}$이 된다는 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1. 양변을 $x$에 대해 미분하여 $f(x)$ 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $f(1)$이므로, 먼저 함수 $f(x)$가 어떤 식인지 알아내야 합니다. 그런데 $f(t)$가 정적분 기호 $\int_{0}^{x} \cdots dt$ 안에 갇혀 있네요. 이 적분 기호를 없애고 $f(x)$를 밖으로 꺼내기 위해 **양변을 $x$에 대해 미분**합니다.
- 좌변 미분하기:
정적분과 미분의 관계에 의해, $\int_{0}^{x} f(t) dt$를 $x$로 미분하면 변수가 $t$에서 $x$로 바뀌면서 $f(x)$가 됩니다.
$$\frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} f(t) dt \right) = f(x)$$
- 우변 미분하기:
우변의 다항식 $3x^3 + 2x$를 $x$에 대해 미분합니다.
$$\frac{d}{dx} (3x^3 + 2x) = 3 \times 3x^2 + 2 = 9x^2 + 2$$
양변을 미분한 결과가 서로 같아야 하므로, 우리는 다음과 같은 $f(x)$ 식을 얻을 수 있습니다.
$$f(x) = 9x^2 + 2$$
2. $f(1)$의 값 계산하기
이제 $f(x)$가 무엇인지 알아냈으니, 문제에서 요구한 $f(1)$의 값을 구할 차례입니다. 앞서 구한 $f(x) = 9x^2 + 2$에 $x = 1$을 대입합니다.
$$f(1) = 9 \times 1^2 + 2$$
$$f(1) = 9 + 2 = 11$$
따라서 구하고자 하는 값은 $11$입니다.
답
③ $11$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해봅시다.
> [질문]
> 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_{1}^{x} f(t) dt = 2x^2 - 2x$ 를 만족시키는 다항함수 $f(x)$가 있습니다. 이 때 $f(3)$의 값은 얼마일까요? (위에서 배운 대로 양변을 미분해서 $f(x)$를 먼저 구해보세요!)