어떤 문제인가
로그의 성질과 밑의 변환 공식을 이용하여 $a\times b$를 구하는 문제입니다. 원본의 식은
$$a=2\log\frac{1}{\sqrt{10}}+\log_{2}20,\qquad b=\log 2$$
입니다. 밑이 쓰이지 않은 $\log$는 밑이 $10$인 상용로그입니다.
단계별 풀이
1단계: 상용로그 부분을 계산합니다
$\dfrac{1}{\sqrt{10}}=10^{-1/2}$이므로
$$2\log\frac{1}{\sqrt{10}}=2\times\left(-\frac12\right)=-1$$
입니다. 따라서
$$a=-1+\log_{2}20$$
입니다.
2단계: $a$를 하나의 로그로 정리합니다
$1=\log_{2}2$를 이용하면
$$a=\log_{2}20-\log_{2}2=\log_{2}\frac{20}{2}=\log_{2}10$$
입니다.
3단계: 밑의 변환 공식으로 곱을 구합니다
밑의 변환 공식에 따라
$$\log_{2}10=\frac{\log 10}{\log 2}=\frac{1}{\log 2}$$
입니다. $\log 2>0$이므로 약분할 수 있습니다.
$$a\times b=\frac{1}{\log 2}\times\log 2=1$$
답
$a\times b=1$이므로 정답은 ①입니다.
확인해보기
$-1+\log_{2}20$을 하나의 로그로 합칠 때, $1$을 $\log_{2}2$로 바꾸는 이유는 무엇인가요?