어떤 문제인가
이 문제는 복잡해 보이는 두 로그 식 $a$와 $b$의 값을 정리하여, 두 수의 곱 $a \times b$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다:
- 로그의 성질: 로그 앞의 계수를 진수의 지수로 올리는 성질($k\log_{x} y = \log_{x} y^k$)과 밑이 같은 로그의 합을 진수의 곱으로 나타내는 성질($\log_{x} M + \log_{x} N = \log_{x} (MN)$)
- 밑 변환 공식: 로그의 밑과 진수를 서로 바꾸면 역수가 된다는 성질($\log_{x} y = \frac{1}{\log_{y} x}$ 또는 $\log_{x} y \times \log_{y} x = 1$)
단계별 풀이
1단계: $a$의 식을 간단하게 정리하기
먼저 $a = 2\log_{5} \frac{1}{\sqrt{10}} + \log_{5} 20$을 정리해 봅시다. 로그의 덧셈을 하기 전에, 첫 번째 로그 앞에 곱해진 숫자 $2$를 진수의 지수로 올려줄게요.
$$2\log_{5} \frac{1}{\sqrt{10}} = \log_{5} \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \log_{5} \frac{1}{10}$$
이제 이 값을 원래 식에 대입하면 밑이 $5$로 같은 두 로그의 합이 됩니다. 밑이 같을 때 로그의 덧셈은 진수끼리의 곱셈으로 합칠 수 있습니다.
$$a = \log_{5} \frac{1}{10} + \log_{5} 20$$
$$a = \log_{5} \left(\frac{1}{10} \times 20\right)$$
$$a = \log_{5} 2$$
이렇게 해서 $a$는 아주 간단하게 $\log_{5} 2$가 되었습니다!
2단계: $a \times b$ 계산하기
이제 구한 $a$의 값과 문제에서 주어진 $b = \log_{2} 5$를 곱해봅시다.
$$a \times b = \log_{5} 2 \times \log_{2} 5$$
두 로그를 잘 보면, 서로 밑과 진수가 반대로 되어 있습니다. 밑 변환 공식에 의해 $\log_{2} 5 = \frac{1}{\log_{5} 2}$로 바꿀 수 있습니다. 이를 대입해 볼까요?
$$a \times b = \log_{5} 2 \times \frac{1}{\log_{5} 2} = 1$$
서로 역수 관계이므로 곱하면 $1$이 됩니다.
답
**① $1$**
확인해보기
오늘 배운 로그의 성질과 밑 변환 공식을 잘 이해했는지 다음 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> 질문: $\log_{3} 4 \times \log_{2} 9$의 값은 무엇일까요? (힌트: $4 = 2^2$, $9 = 3^2$임을 이용해 로그 앞의 숫자로 꺼내어 정리해 보세요.)