어떤 문제인가
이 문제는 주어진 정적분 방정식을 만족하는 양수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정적분의 성질: 구간을 나누거나 합치는 성질인 $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$를 이해하고 활용합니다.
- 정적분의 계산: 다항함수의 부정적분을 구하고, 위끝과 아래끝을 대입하여 계산합니다.
- 방정식 풀이: 인수분해를 통해 삼차방정식을 풀고 조건에 맞는 해를 찾습니다.
단계별 풀이
1단계: 정적분의 성질을 이용하여 식 단순화하기
우선 주어진 식을 그대로 계산하기보다, 정적분의 성질을 이용해 식을 훨씬 간단하게 만들어 봅시다. 주어진 식은 다음과 같습니다.
$$\int_{-2}^{a} f(x) dx = \int_{-2}^{0} f(x) dx$$
우변에 있는 항을 좌변으로 이항해 볼까요?
$$\int_{-2}^{a} f(x) dx - \int_{-2}^{0} f(x) dx = 0$$
여기서 정적분의 구간을 생각해 봅시다. $-2$부터 $a$까지의 적분에서 $-2$부터 $0$까지의 적분을 빼면, 결국 어느 구간만 남게 될까요? 맞습니다. 바로 $0$부터 $a$까지의 구간만 남게 됩니다.
$$\int_{0}^{a} f(x) dx = 0$$
복잡해 보였던 식이 아주 간단해졌습니다! 이제 이 식을 계산해 봅시다.
2단계: 정적분 계산하기
이제 $f(x) = 3x^2 - 16x - 20$을 대입하여 정적분을 직접 계산해 봅시다.
$$\int_{0}^{a} (3x^2 - 16x - 20) dx = 0$$
먼저 피적분함수 $3x^2 - 16x - 20$의 부정적분을 구합니다.
- $3x^2$의 부정적분은 $x^3$
- $-16x$의 부정적분은 $-8x^2$
- $-20$의 부정적분은 $-20x$
따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\left[ x^3 - 8x^2 - 20x \right]_{0}^{a} = 0$$
위끝 $a$와 아래끝 $0$을 대입하여 계산하면 다음과 같습니다.
$$(a^3 - 8a^2 - 20a) - (0^3 - 8\cdot0^2 - 20\cdot0) = 0$$
$$a^3 - 8a^2 - 20a = 0$$
3단계: 방정식 풀고 양수 $a$ 구하기
이제 $a$에 대한 삼차방정식을 풀어봅시다. 공통인수 $a$로 묶어줍니다.
$$a(a^2 - 8a - 20) = 0$$
괄호 안의 이차식 $a^2 - 8a - 20$을 인수분해해 봅시다. 곱해서 $-20$, 더해서 $-8$이 되는 두 수는 $-10$과 $2$입니다.
$$a(a - 10)(a + 2) = 0$$
이 방정식을 만족하는 $a$의 값은 다음과 같이 세 개가 나옵니다.
$$a = 0 \quad \text{또는} \quad a = 10 \quad \text{또는} \quad a = -2$$
문제에서 $a$는 양수라고 했으므로, 우리가 찾는 값은 $a = 10$이 됩니다.
답
④ $10$
확인해보기
오늘 배운 정적분의 성질을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문:
> 임의의 연속함수 $g(x)$에 대하여, 다음 식을 하나의 정적분 기호로 간단히 나타내면 어떻게 될까요?
> $$\int_{1}^{5} g(x) dx - \int_{1}^{3} g(x) dx$$