어떤 문제인가
이 문제는 성분으로 나타내어진 두 벡터의 연산(실수배와 덧셈)을 이해하고, 두 벡터가 서로 같을 조건(상등)을 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 실수배: 벡터에 실수를 곱할 때는 각 성분(x성분, y성분)에 모두 그 실수를 곱해줍니다.
- 벡터의 덧셈: 두 벡터를 더할 때는 x성분은 x성분끼리, y성분은 y성분끼리 더해줍니다.
- 두 벡터가 같을 조건: 두 벡터가 서로 같으려면 x성분과 y성분이 각각 서로 같아야 합니다.
단계별 풀이
1단계: $3\vec{b}$ 구하기 (벡터의 실수배)
먼저 식 $\vec{a} + 3\vec{b}$를 계산하기 위해, 벡터 $\vec{b}$에 $3$을 곱한 $3\vec{b}$를 구해봅시다. 벡터의 실수배는 각 성분에 숫자를 곱해주면 됩니다.
$$\vec{b} = (1, 2)$$
$$3\vec{b} = 3(1, 2) = (3 \times 1, 3 \times 2) = (3, 6)$$
2단계: $\vec{a} + 3\vec{b}$ 계산하기 (벡터의 덧셈)
이제 벡터 $\vec{a}$와 방금 구한 $3\vec{b}$를 더해봅시다. 벡터의 덧셈은 x성분끼리, y성분끼리 따로따로 더해줍니다.
$$\vec{a} = (k, 3)$$
$$\vec{a} + 3\vec{b} = (k, 3) + (3, 6) = (k + 3, 3 + 6) = (k + 3, 9)$$
3단계: $k$의 값 구하기 (두 벡터가 같을 조건)
문제에서 $\vec{a} + 3\vec{b} = (6, 9)$라고 주어졌습니다. 우리가 2단계에서 구한 식과 비교해 볼까요?
$$(k + 3, 9) = (6, 9)$$
두 벡터가 서로 같으려면 x성분끼리 같아야 하므로, 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다.
$$k + 3 = 6$$
이 방정식을 풀면 다음과 같습니다.
$$k = 3$$
답
정답은 ③ 3 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> 두 벡터 $\vec{p} = (2, m)$, $\vec{q} = (3, -1)$에 대하여 $2\vec{p} - \vec{q} = (1, 7)$일 때, 실수 $m$의 값은 얼마일까요?