어떤 문제인가
이 문제는 포물선의 정의와 성질을 이해하고, 주어진 조건을 이용해 포물선의 방정식을 구한 뒤 특정 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 포물선의 표준형: 꼭짓점이 $(h, k)$이고 준선이 $x = h-p$인 포물선의 방정식은 $(y-k)^2 = 4p(x-h)$입니다. (이때 초점은 $(h+p, k)$입니다.)
- 꼭짓점과 준선의 관계: 꼭짓점은 초점과 준선 사이의 딱 중간에 위치합니다. 즉, 꼭짓점에서 준선까지의 거리가 바로 $|p|$입니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 방정식 형태 정하기
포물선의 준선이 $x = -1$로 세로선입니다. 준선이 세로선이라는 것은 포물선이 좌우(좌측 또는 우측)로 볼록한 모양이라는 뜻입니다.
꼭짓점의 좌표가 $(1, 0)$이므로, 우리가 구하고자 하는 포물선의 방정식은 다음과 같은 형태가 됩니다.
$$(y-0)^2 = 4p(x-1)$$
정리하면,
$$y^2 = 4p(x-1)$$
이제 상수 $p$의 값만 구하면 포물선의 방정식을 완성할 수 있습니다.
2단계: 꼭짓점과 준선의 위치 관계를 이용해 $p$ 구하기
꼭짓점의 $x$좌표는 $1$이고, 준선은 $x = -1$입니다.
꼭짓점에서 준선까지의 거리는 $1 - (-1) = 2$입니다.
포물선에서 꼭짓점과 준선 사이의 거리는 $|p|$이므로, $|p| = 2$가 됩니다.
이때 꼭짓점($(1, 0)$)이 준선($x = -1$)보다 오른쪽에 있으므로, 포물선은 오른쪽으로 열린 모양이 되어 $p$는 양수입니다.
따라서,
$$p = 2$$
이 값을 포물선의 방정식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$y^2 = 4 \times 2 \times (x-1)$$
$$y^2 = 8(x-1)$$
3단계: 점 $(3, a)$를 대입하여 $a$ 구하기
이 포물선이 점 $(3, a)$를 지난다고 했으므로, 포물선의 방정식에 $x = 3$, $y = a$를 대입합니다.
$$a^2 = 8(3-1)$$
$$a^2 = 8 \times 2$$
$$a^2 = 16$$
제곱해서 $16$이 되는 수는 $4$와 $-4$가 있습니다. 문제에서 $a$는 양수라고 했으므로,
$$a = 4$$
가 됩니다.
답
④ 4
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 질문: 꼭짓점의 좌표가 원점 $(0, 0)$이고 준선이 $y = -2$인 포물선의 방정식은 어떻게 될까요? (힌트: 준선이 가로선이므로 위아래로 볼록한 포물선 형태인 $x^2 = 4py$를 이용해 보세요.)