어떤 문제인가
이 문제는 좌표공간에서 두 점을 잇는 선분의 내분점과 외분점의 위치 조건을 이용해서 미지수 $a, b, c$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 좌표공간에서의 내분점과 외분점 공식: 선분을 $m:n$으로 나누는 점의 좌표를 구하는 방법을 알아야 합니다.
- **$z$축 위의 점의 특징**: $z$축 위에 있는 점은 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 $0$입니다. 즉, $(0, 0, z)$ 꼴입니다.
- **$xy$평면 위의 점의 특징**: $xy$평면 위에 있는 점은 $z$좌표가 $0$입니다. 즉, $(x, y, 0)$ 꼴입니다.
단계별 풀이
1단계: $z$축 위에 있는 내분점의 성질을 이용하여 $a, b$ 구하기
선분 $\mathrm{AB}$를 $3:2$로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$라고 해봅시다.
두 점 $\mathrm{A}(a, b, 6)$와 $\mathrm{B}(-4, -2, c)$를 $3:2$로 내분하는 점 $\mathrm{P}$의 좌표 공식은 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P} = \left( \frac{3 \times (-4) + 2 \times a}{3+2}, \frac{3 \times (-2) + 2 \times b}{3+2}, \frac{3 \times c + 2 \times 6}{3+2} \right)$$
정리하면,
$$\mathrm{P} = \left( \frac{-12 + 2a}{5}, \frac{-6 + 2b}{5}, \frac{3c + 12}{5} \right)$$
문제에서 이 내분점 $\mathrm{P}$가 **$z$축 위에 있다**고 했습니다. $z$축 위의 점은 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 $0$이어야 하므로, 다음 두 식을 세울 수 있습니다.
- $x$좌표가 $0$이므로:
$$\frac{-12 + 2a}{5} = 0 \implies -12 + 2a = 0 \implies a = 6$$
- $y$좌표가 $0$이므로:
$$\frac{-6 + 2b}{5} = 0 \implies -6 + 2b = 0 \implies b = 3$$
이렇게 해서 $a = 6$, $b = 3$을 구했습니다!
2단계: $xy$평면 위에 있는 외분점의 성질을 이용하여 $c$ 구하기
이번에는 선분 $\mathrm{AB}$를 $3:2$로 외분하는 점을 $\mathrm{Q}$라고 해봅시다.
외분점 공식은 내분점 공식에서 더하기($+$)를 빼기($-$)로 바꾸면 됩니다.
$$\mathrm{Q} = \left( \frac{3 \times (-4) - 2 \times a}{3-2}, \frac{3 \times (-2) - 2 \times b}{3-2}, \frac{3 \times c - 2 \times 6}{3-2} \right)$$
분모는 $3-2 = 1$이므로, $z$좌표만 따로 떼어내어 정리해 봅시다.
$$\text{점 } \mathrm{Q}\text{의 } z\text{좌표} = \frac{3c - 12}{1} = 3c - 12$$
문제에서 이 외분점 $\mathrm{Q}$가 **$xy$평면 위에 있다**고 했습니다. $xy$평면 위의 점은 $z$좌표가 $0$이어야 하므로, 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$3c - 12 = 0 \implies 3c = 12 \implies c = 4$$
이렇게 해서 $c = 4$를 구했습니다!
3단계: $a+b+c$의 값 계산하기
우리가 구한 세 미지수의 값을 모두 더해봅시다.
$$a = 6, \quad b = 3, \quad c = 4$$
$$a + b + c = 6 + 3 + 4 = 13$$
답
③ $13$
확인해보기
좌표공간에서 어떤 점이 **$yz$평면 위에 있으면서 동시에 $z$축 위에도 있는 점**이라면, 이 점의 좌표는 어떤 형태가 되어야 할까요? (좌표의 성분 중 어떤 것들이 $0$이 되어야 하는지 생각해보세요.)