어떤 문제인가
이 문제는 타원 위의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구하고, 그 접선의 **$x$절편**들 사이의 관계식을 이용하여 조건에 맞는 자연수 $n$의 개수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해 두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 타원 위의 점에서의 접선의 방정식: 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$입니다.
- **접선의 $x$절편 구하기**: $y=0$을 대입하여 $x$의 값을 구합니다. 이때, $x$절편은 접점의 $y$좌표와 상관없이 **$x$좌표에 의해서만 결정된다**는 아주 편리한 성질이 있습니다!
단계별 풀이
1단계: 접점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표 파악하기
두 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$는 각각 타원 $C_1, C_2$와 직선 $x = \frac{1}{n}$이 만나는 점입니다.
따라서 두 점의 $x$좌표는 모두 $x = \frac{1}{n}$입니다.
- 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\left(\frac{1}{n}, y_1\right)$이라 합시다. (단, 제1사분면이므로 $y_1 > 0$)
- 점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 $\left(\frac{1}{n}, y_2\right)$라 합시다. (단, 제1사분면이므로 $y_2 > 0$)
2단계: 타원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 $x$절편 $\alpha$ 구하기
타원 $C_1$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$C_1 : \frac{x^2}{2} + y^2 = 1$$
이 타원 위의 점 $\mathrm{P}\left(\frac{1}{n}, y_1\right)$에서의 접선의 방정식은 공식에 의해 다음과 같습니다.
$$\frac{\frac{1}{n} \cdot x}{2} + y_1 y = 1 \implies \frac{x}{2n} + y_1 y = 1$$
이 접선의 $x$절편 $\alpha$를 구하기 위해 $y=0$을 대입합니다.
$$\frac{\alpha}{2n} = 1 \implies \alpha = 2n$$
3단계: 타원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 $x$절편 $\beta$ 구하기
타원 $C_2$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$C_2 : 2x^2 + \frac{y^2}{2} = 1$$
이 타원 위의 점 $\mathrm{Q}\left(\frac{1}{n}, y_2\right)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$2 \cdot \frac{1}{n} \cdot x + \frac{y_2 y}{2} = 1 \implies \frac{2x}{n} + \frac{y_2 y}{2} = 1$$
이 접선의 $x$절편 $\beta$를 구하기 위해 $y=0$을 대입합니다.
$$\frac{2\beta}{n} = 1 \implies \beta = \frac{n}{2}$$
4단계: 조건 $6 \le \alpha - \beta \le 15$를 만족하는 $n$의 범위 구하기
위에서 구한 $\alpha = 2n$과 $\beta = \frac{n}{2}$을 조건식에 대입해 봅시다.
$$\alpha - \beta = 2n - \frac{n}{2} = \frac{3n}{2}$$
따라서 부등식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$6 \le \frac{3n}{2} \le 15$$
이 부등식의 모든 변에 $\frac{2}{3}$를 곱하여 $n$의 범위를 구합니다.
$$6 \times \frac{2}{3} \le n \le 15 \times \frac{2}{3}$$
$$4 \le n \le 10$$
5단계: 자연수 $n$의 개수 구하기
문제에서 $n$은 자연수라고 했으므로, 이 범위를 만족하는 자연수 $n$은 다음과 같습니다.
$$n = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$$
(참고: $n \ge 4$일 때 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 $y$좌표는 모두 실수이며 제1사분면 위에 존재하므로 문제의 조건을 모두 만족합니다.)
따라서 조건을 만족하는 모든 자연수 $n$의 개수는 $10 - 4 + 1 = 7$개입니다.
답
①
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 위의 점 $(1, y_1)$에서의 접선의 $x$절편은 얼마일까요? (단, $y_1 > 0$)