어떤 문제인가
이 문제는 공간도형에서 삼수선의 정리, 이면각, 그리고 정사영의 개념을 종합적으로 활용하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 직선과 평면의 수직 관계: 한 직선이 평면과 수직이면, 그 평면 위의 모든 직선과 수직입니다.
- 삼각형의 내접원의 넓이: 삼각형의 세 변의 길이를 알면 넓이를 구하고, 이를 통해 내접원의 반지름을 구할 수 있습니다.
- 정사영의 넓이 공식: 원래 도형의 넓이를 $S$, 정사영된 도형의 넓이를 $S'$라 하고 두 평면이 이루는 이면각을 $\theta$라 할 때, $S' = S \cos\theta$가 성립합니다.
단계별 풀이
1단계: 정삼각형 $AMD$의 한 변의 길이 구하기
먼저 주어진 조건들을 이용해 정삼각형 $AMD$의 한 변의 길이를 구해봅시다.
직선 $BC$가 평면 $AMD$와 수직이라고 했습니다. 점 $M$은 선분 $BC$의 중점이므로, 평면 $AMD$ 위에 있는 선분 $AM$은 직선 $BC$와 수직입니다. 즉, $\angle AMB = 90^\circ$입니다.
직각삼각형 $ABM$에서 피타고라스 정리를 적용해 봅시다.
- $AB = 6$
- $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{36 - 20} = \sqrt{16} = 4$$
삼각형 $AMD$는 정삼각형이므로, 세 변의 길이는 모두 $4$입니다.
$$\therefore AM = MD = AD = 4$$
2단계: 삼각형 $ACD$의 세 변의 길이 구하기
내접원의 넓이를 구하기 위해 삼각형 $ACD$의 세 변의 길이를 알아야 합니다. 이미 $AD = 4$임을 알고 있으니, $AC$와 $CD$의 길이를 구해봅시다.
- **$AC$의 길이 구하기**:
$\angle AMC = 90^\circ$이므로 직각삼각형 $AMC$에서 피타고라스 정리를 씁니다.
$$AC = \sqrt{AM^2 + MC^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 20} = 6$$
- **$CD$의 길이 구하기**:
직선 $BC$는 평면 $AMD$와 수직이므로, 평면 $AMD$ 위의 선분 $DM$과도 수직입니다 ($\angle DMC = 90^\circ$). 직각삼각형 $DMC$에서 피타고라스 정리를 씁니다.
$$CD = \sqrt{DM^2 + MC^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 20} = 6$$
따라서 삼각형 $ACD$는 $AC = CD = 6$, $AD = 4$인 이등변삼각형입니다.
3단계: 삼각형 $ACD$의 내접원의 넓이 구하기
이등변삼각형 $ACD$의 넓이를 $S$라 하고, 내접원의 반지름을 $r$이라 합시다.
먼저, 삼각형 $ACD$의 높이를 구하기 위해 꼭짓점 $C$에서 변 $AD$에 수선 $CN$을 내립니다. 이등변삼각형이므로 점 $N$은 $AD$의 중점이 되어 $AN = 2$가 됩니다.
$$CN = \sqrt{AC^2 - AN^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$
따라서 삼각형 $ACD$의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} \times AD \times CN = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$
삼각형의 둘레의 길이의 절반을 $s$라 하면, $s = \frac{6+6+4}{2} = 8$입니다. 내접원의 반지름 $r$과의 관계식 $S = rs$를 이용하면,
$$8\sqrt{2} = r \times 8 \implies r = \sqrt{2}$$
따라서 삼각형 $ACD$에 내접하는 원의 넓이 $S_{\text{circle}}$은 다음과 같습니다.
$$S_{\text{circle}} = \pi r^2 = 2\pi$$
4단계: 두 평면 $ACD$와 $BCD$가 이루는 이면각의 코사인 값 ($\cos\theta$) 구하기
이면각을 구하기 위해 정사영의 성질을 역으로 이용해 봅시다. 평면 $ACD$를 평면 $BCD$ 위로 정사영시킨 삼각형을 생각해봅니다.
- 점 $C$와 $D$는 이미 평면 $BCD$ 위에 있으므로 정사영을 내려도 자기 자신입니다.
- 점 $A$에서 평면 $BCD$에 내린 수선의 발을 찾아야 합니다.
직선 $BC$가 평면 $AMD$와 수직이므로, 평면 $AMD$는 평면 $BCD$와 수직입니다. 두 평면의 교선은 직선 $MD$입니다.
따라서 점 $A$에서 평면 $BCD$에 내린 수선의 발은, 점 $A$에서 교선 $MD$에 내린 수선의 발과 같습니다.
삼각형 $AMD$는 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형이므로, $A$에서 $MD$에 내린 수선의 발은 $MD$의 중점 $H$가 됩니다.
즉, 삼각형 $ACD$의 평면 $BCD$ 위로의 정사영은 **삼각형 $HCD$**가 됩니다.
이제 두 삼각형의 넓이 관계를 통해 $\cos\theta$를 구해봅시다.
- **삼각형 $HCD$의 넓이 ($S_{\text{proj}}$)**:
점 $M$에서 $MC \perp MD$이므로, 밑변을 $HD$로 잡으면 높이는 $MC$가 됩니다.
$HD = \frac{1}{2} MD = 2$ 이고, $MC = 2\sqrt{5}$ 이므로,
$$S_{\text{proj}} = \frac{1}{2} \times HD \times MC = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$
정사영 공식($S_{\text{proj}} = S \times \cos\theta$)에 대입하면,
$$2\sqrt{5} = 8\sqrt{2} \times \cos\theta$$
$$\cos\theta = \frac{2\sqrt{5}}{8\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{8}$$
5단계: 내접원의 정사영의 넓이 구하기
우리가 구하고자 하는 내접원의 평면 $BCD$ 위로의 정사영의 넓이를 $S'$라 하면,
$$S' = S_{\text{circle}} \times \cos\theta = 2\pi \times \frac{\sqrt{10}}{8} = \frac{\sqrt{10}}{4}\pi$$
답
① $\frac{\sqrt{10}}{4}\pi$
확인해보기
질문: 풀이의 4단계에서 "평면 $AMD$와 평면 $BCD$가 서로 수직이다"라는 성질을 사용했습니다. 어떤 조건 때문에 두 평면이 수직이 되는지 그 이유를 스스로 설명해 볼 수 있을까요?