반갑습니다! 복잡해 보이는 공간도형 문제도 차근차근 좌표를 도입하거나 기하학적 성질을 이용하면 쉽게 해결할 수 있습니다. 선생님과 함께 한 단계씩 풀어봅시다.
어떤 문제인가
이 문제는 3차원 좌표공간에서 구와 평면이 만나서 생기는 원의 성질과 공간에서의 점과 직선 사이의 거리를 다루는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 공간좌표 설정: 복잡한 입체도형을 직관적이고 계산하기 쉽게 만들기 위해 적절한 축을 세워 좌표로 나타냅니다.
- 구와 평면의 교선: 구를 평면으로 자르면 그 단면은 '원'이 됩니다.
- 삼수선의 정리 (또는 피타고라스 정리): 공간에서의 거리를 평면에서의 거리와 높이($z$좌표)의 관계로 나누어 생각합니다.
단계별 풀이
1단계: 계산하기 편하게 공간좌표계 도입하기
도형의 각 변의 길이와 직각 조건이 주어졌으므로, 점 $B$를 원점으로 하는 좌표계를 세우면 아주 편리합니다.
- 점 $B$를 원점 $(0, 0, 0)$으로 잡습니다.
- 직선 $AB$를 $x$축, 직선 $BC$를 $y$축으로 잡습니다. 평면 $ABC$는 $xy$평면($z=0$)이 됩니다.
- 주어진 길이에 따라 세 꼭짓점의 좌표를 다음과 같이 정할 수 있습니다.
* $B = (0, 0, 0)$
* $A = (8, 0, 0)$ (길이 $\overline{AB} = 8$)
* $C = (0, 6, 0)$ (길이 $\overline{BC} = 6$)
2단계: 구 $S$의 방정식 구하기
구 $S$는 선분 $AC$를 지름으로 합니다.
- 지름의 양 끝점이 $A(8, 0, 0)$와 $C(0, 6, 0)$이므로, 구의 중심 $M$은 선분 $AC$의 중점입니다.
$$M = \left(\frac{8+0}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (4, 3, 0)$$
- 지름의 길이 $AC$는 피타고라스 정리에 의해 다음과 같습니다.
$$\overline{AC} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$$
따라서 구의 반지름 $R$은 $5$입니다.
- 구 $S$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$(x-4)^2 + (y-3)^2 + z^2 = 5^2 = 25$$
3단계: 평면 $\alpha$와 원 $O$의 방정식 구하기
- 평면 $\alpha$는 직선 $AB$($x$축)를 포함하고, 평면 $ABC$($xy$평면)에 수직인 평면입니다. 따라서 이 평면은 **$xz$평면($y=0$)**이 됩니다.
- 원 $O$는 구 $S$와 평면 $y=0$이 만나서 생기는 도형이므로, 구의 방정식에 $y=0$을 대입하여 원의 방정식을 얻습니다.
$$(x-4)^2 + (0-3)^2 + z^2 = 25$$
$$(x-4)^2 + 9 + z^2 = 25 \implies (x-4)^2 + z^2 = 16 \quad (\text{단, } y=0)$$
- 즉, 원 $O$는 $xz$평면 위에 있으며, 중심이 $(4, 0, 0)$이고 반지름이 $4$인 원입니다.
4단계: 원 $O$ 위의 점 $P(x, 0, z)$에서 직선 $AC$까지의 거리 구하기
원 $O$ 위의 임의의 점을 $P(x, 0, z)$라 합시다. 이 점은 원 $O$ 위에 있으므로 다음 식을 만족합니다.
$$z^2 = 16 - (x-4)^2 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
이제 점 $P(x, 0, z)$에서 $xy$평면 위에 있는 직선 $AC$까지의 거리를 구해봅시다.
- 점 $P$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발을 $P'$이라 하면, $P' = (x, 0, 0)$입니다.
- 삼수선의 정리에 의해, 점 $P$에서 직선 $AC$까지의 거리의 제곱은 다음과 같습니다.
$$(\text{거리})^2 = (\text{점 } P' \text{에서 직선 } AC \text{까지의 거리})^2 + \overline{PP'}^2$$
이때 $\overline{PP'}^2 = z^2$입니다.
$xy$평면 위에서 직선 $AC$의 방정식을 구해봅시다. 두 점 $(8,0)$과 $(0,6)$을 지나므로,
$$y - 0 = \frac{6 - 0}{0 - 8}(x - 8) \implies y = -\frac{3}{4}(x-8) \implies 3x + 4y - 24 = 0$$
점 $P'(x, 0, 0)$에서 이 직선까지의 거리 $h$는 점과 직선 사이의 거리 공식에 의해 다음과 같습니다.
$$h = \frac{|3x + 4(0) - 24|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3x - 24|}{5}$$
따라서 점 $P$에서 직선 $AC$까지의 거리 $d$의 제곱은 다음과 같습니다.
$$d^2 = h^2 + z^2 = \frac{(3x-24)^2}{25} + z^2$$
5단계: 조건 만족하는 점 $P, Q$의 좌표와 선분 $PQ$의 길이 구하기
문제에서 이 거리가 $4$라고 했으므로, $d^2 = 16$입니다.
$$\frac{(3x-24)^2}{25} + z^2 = 16 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
이제 (식 1)의 $z^2 = 16 - (x-4)^2$을 (식 2)에 대입합니다.
$$\frac{9(x-8)^2}{25} + 16 - (x-4)^2 = 16$$
$$\frac{9}{25}(x-8)^2 = (x-4)^2$$
양변에 루트를 씌워 정리해 봅시다.
$$\pm \frac{3}{5}(x-8) = x-4$$
**Case 1) $+$인 경우:**
$$\frac{3}{5}(x-8) = x-4 \implies 3x - 24 = 5x - 20 \implies 2x = -4 \implies x = -2$$
하지만 $x = -2$를 (식 1)에 대입하면 $z^2 = 16 - (-6)^2 = -20 < 0$이 되어 실수 $z$가 존재하지 않습니다.
**Case 2) $-$인 경우:**
$$-\frac{3}{5}(x-8) = x-4 \implies -3x + 24 = 5x - 20 \implies 8x = 44 \implies x = \frac{11}{2}$$
이 값을 (식 1)에 대입하면,
$$z^2 = 16 - \left(\frac{11}{2} - 4\right)^2 = 16 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 16 - \frac{9}{4} = \frac{55}{4}$$
$$z = \pm \frac{\sqrt{55}}{2}$$
따라서 조건을 만족하는 두 점 $P$와 $Q$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$P = \left(\frac{11}{2}, 0, \frac{\sqrt{55}}{2}\right), \quad Q = \left(\frac{11}{2}, 0, -\frac{\sqrt{55}}{2}\right)$$
두 점은 $x$좌표와 $y$좌표가 같고 $z$좌표만 다르므로, 선분 $PQ$의 길이는 두 $z$좌표의 차이입니다.
$$\overline{PQ} = \frac{\sqrt{55}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{55}}{2}\right) = \sqrt{55}$$
답
**④ $\sqrt{55}$**
확인해보기
풀이 과정의 4단계에서 점 $P(x, 0, z)$에서 직선 $AC$까지의 거리를 구할 때 피타고라스 정리($d^2 = h^2 + z^2$)를 사용했습니다. 이 관계가 성립하는 이유를 기하학의 '삼수선의 정리'를 이용하여 스스로 설명해 보세요. (직접 그림을 그려보면 이해하는 데 큰 도움이 됩니다!)