어떤 문제인가
이 문제는 이차곡선 중 하나인 쌍곡선의 정의와 중학교 때 배운 도형의 닮음, 그리고 삼각비를 활용하여 삼각형의 넓이를 구하는 복합적인 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 쌍곡선의 정의: 쌍곡선 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이($2a$)로 일정합니다.
- 삼각형의 닮음: 두 삼각형이 닮음일 때, 대응하는 변의 길이의 비는 일정합니다.
- 코사인 법칙과 삼각형의 넓이: 세 변의 길이를 알 때 코사인 법칙을 이용해 각의 크기(또는 코사인값)를 구하고, 이를 통해 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 쌍곡선의 방정식에서 초점과 주축의 길이 구하기
먼저 주어진 쌍곡선의 방정식을 살펴봅시다.
$$x^2 - \frac{y^2}{35} = 1$$
이 방정식은 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 꼴입니다. 여기서 $a^2 = 1$, $b^2 = 35$임을 알 수 있습니다.
- 주축의 길이: $2a = 2 \times 1 = 2$ 입니다.
- **초점 $c$ 구하기**: 쌍곡선에서 $c^2 = a^2 + b^2$이 성립하므로,
$$c^2 = 1 + 35 = 36 \implies c = 6 \quad (c > 0)$$
따라서 두 초점은 $F(6, 0)$, $F'(-6, 0)$이고, 두 초점 사이의 거리인 선분 $FF'$의 길이는 다음과 같습니다.
$$\overline{FF'} = 2c = 12$$
2단계: 쌍곡선의 정의를 이용하여 선분의 길이 가정하기
점 $P$는 쌍곡선 위의 점이므로, 쌍곡선의 정의에 의해 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이인 $2$가 되어야 합니다.
$$|\overline{PF'} - \overline{PF}| = 2$$
점 $P$가 제1사분면에 있으므로 초점 $F'$가 $F$보다 더 멉니다. 즉, $\overline{PF'} > \overline{PF}$입니다.
따라서 선분의 길이를 다음과 같이 문자로 놓을 수 있습니다.
- $\overline{PF} = k \quad (k > 0)$라 하면,
- $\overline{PF'} = k + 2$ 가 됩니다.
또한 문제 조건에서 $\overline{PQ} = \overline{PF}$라고 했으므로,
$$\overline{PQ} = k$$
이고, $\overline{PF'} < \overline{QF'}$이므로 점 $Q$는 선분 $F'P$의 연장선 위에 있습니다. 따라서 선분 $QF'$의 길이는 다음과 같이 표현됩니다.
$$\overline{QF'} = \overline{PF'} + \overline{PQ} = (k + 2) + k = 2k + 2$$
3단계: 삼각형의 닮음 조건을 이용하여 $k$값 구하기
문제에서 $\triangle QF'F$와 $\triangle FF'P$가 서로 닮음이라고 했습니다.
$$\triangle QF'F \sim \triangle FF'P$$
두 삼각형은 각 $F'$($\angle QF'F$)를 공통으로 가지고 있습니다. 따라서 닮음비에 의해 대응하는 변의 길이의 비가 같아야 합니다.
$$\frac{\overline{QF'}}{\overline{FF'}} = \frac{\overline{FF'}}{\overline{PF'}}$$
우리가 구한 값들을 대입해 볼까요?
$$\frac{2k + 2}{12} = \frac{12}{k + 2}$$
양변을 정리해 봅시다. 왼쪽 분수의 분자분모를 $2$로 약분하면,
$$\frac{k + 1}{6} = \frac{12}{k + 2}$$
대각선으로 곱해주면 이차방정식이 만들어집니다.
$$(k + 1)(k + 2) = 72$$
$$k^2 + 3k + 2 = 72$$
$$k^2 + 3k - 70 = 0$$
인수분해를 하면,
$$(k + 10)(k - 7) = 0$$
$k$는 길이를 나타내는 양수이므로, **$k = 7$**입니다.
이로써 우리는 모든 선분의 길이를 알게 되었습니다!
- $\overline{PF} = 7$
- $\overline{PF'} = 9$
- $\overline{PQ} = 7$
- $\overline{FF'} = 12$
4단계: 코사인 법칙을 이용하여 삼각형 $\text{PFQ}$의 넓이 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 삼각형 $\text{PFQ}$의 넓이입니다. 이 삼각형은 $\overline{PF} = \overline{PQ} = 7$인 이등변삼각형입니다. 두 변의 길이를 알기 때문에, 그 끼인각인 $\angle QPF$의 사인값만 알면 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다.
먼저, 직선 위의 각이므로 $\angle QPF$와 $\angle F'PF$의 합은 평각($180^\circ$)입니다.
$$\angle QPF = 180^\circ - \angle F'PF$$
삼각형 $\text{FF'P}$의 세 변의 길이를 모두 알고 있으므로, 코사인 법칙을 사용하여 $\cos(\angle F'PF)$를 구해봅시다. 편의상 $\angle F'PF = \theta$라고 하겠습니다.
$$\overline{FF'}^2 = \overline{PF'}^2 + \overline{PF}^2 - 2 \cdot \overline{PF'} \cdot \overline{PF} \cdot \cos\theta$$
$$12^2 = 9^2 + 7^2 - 2 \cdot 9 \cdot 7 \cdot \cos\theta$$
$$144 = 81 + 49 - 126\cos\theta$$
$$144 = 130 - 126\cos\theta$$
$$126\cos\theta = -14 \implies \cos\theta = -\frac{14}{126} = -\frac{1}{9}$$
우리가 필요한 각은 $\angle QPF = 180^\circ - \theta$입니다. 삼각함수의 성질에 의해,
$$\cos(\angle QPF) = \cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta = \frac{1}{9}$$
이제 사인값을 구해봅시다. $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$이므로,
$$\sin(\angle QPF) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{9}\right)^2} = \sqrt{\frac{80}{81}} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$$
마지막으로 삼각형 $\text{PFQ}$의 넓이 $S$를 구합니다.
$$S = \frac{1}{2} \cdot \overline{PF} \cdot \overline{PQ} \cdot \sin(\angle QPF)$$
$$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 \cdot \frac{4\sqrt{5}}{9} = \frac{98\sqrt{5}}{9}$$
5단계: $p+q$ 계산하기
삼각형 $\text{PFQ}$의 넓이가 $\frac{q}{p}\sqrt{5}$이므로,
$$\frac{q}{p} = \frac{98}{9}$$
$p$와 $q$는 서로소인 자연수이므로 $p = 9$, $q = 98$입니다.
따라서 우리가 구하는 값은 다음과 같습니다.
$$p + q = 9 + 98 = 107$$
답
$$107$$
확인해보기
이 문제를 해결할 때 "쌍곡선 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 차가 일정하다"는 성질을 사용했습니다.
그렇다면, 만약 이 문제가 쌍곡선이 아니라 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$로 바뀌어 출제된다면, 타원의 정의에 의해 점 $P$에서 두 초점까지의 거리에 대해 어떤 성질을 이용해야 할까요? 스스로 생각해보세요!