안녕하세요! 오늘 함께 풀어볼 문제는 벡터의 연산과 도형의 방정식을 결합한 아주 흥미로운 기하 문제입니다. 복잡해 보이지만, 하나씩 실타래를 풀 듯이 단계를 나누어 생각하면 쉽게 해결할 수 있습니다. 준비되었나요? 시작해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 벡터 조건을 해석하여 점의 자취(도형)를 찾고, 복잡한 벡터 식을 단순한 형태로 변형하여 내적의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
우리가 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 합과 중점의 관계: 두 벡터의 합 $\vec{XB} + \vec{XC}$는 선분 $BC$의 중점을 이용해 간단히 나타낼 수 있습니다.
- 시점 통일을 통한 벡터의 분할: 복잡하게 얽힌 벡터 식을 하나의 기준점(예: 시점 $A$ 또는 $P$)으로 통일하여 정리합니다.
- 원 위의 점과 벡터의 내적: 원 위의 점을 지나는 벡터의 내적은 원의 중심을 거쳐 가는 경로로 분할하면 최대·최소를 쉽게 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 도형 $S$(점 $X$의 자취)의 정체 밝히기
먼저 점 $X$가 만족하는 식을 살펴봅시다.
$$|\vec{XB} + \vec{XC}| = |\vec{XB} - \vec{XC}|$$
이 식의 좌변과 우변을 기하학적으로 해석해 보겠습니다.
- 우변: $\vec{XB} - \vec{XC} = \vec{CB}$ 이므로, 우변의 크기는 선분 $BC$의 길이와 같습니다. 정사각형의 한 변의 길이가 $4$이므로, $|\vec{XB} - \vec{XC}| = 4$ 입니다.
- 좌변: 선분 $BC$의 중점을 $M$이라고 해봅시다. 그렇다면 벡터의 성질에 의해 다음이 성립합니다.
$$\vec{XB} + \vec{XC} = 2\vec{XM}$$
따라서 좌변은 $|2\vec{XM}| = 2|\vec{XM}|$이 됩니다.
이제 두 식을 같다고 놓으면:
$$2|\vec{XM}| = 4 \implies |\vec{XM}| = 2$$
이것이 의미하는 것은 무엇일까요? **"점 $X$는 선분 $BC$의 중점 $M$으로부터 거리가 $2$인 점들의 모임"**입니다.
즉, 도형 $S$는 **선분 $BC$의 중점 $M$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원**입니다.
2단계: 점 $Q$에 대한 식 정리하기
다음으로 점 $Q$가 만족하는 식을 정리해 봅시다.
$$4\vec{PQ} = \vec{PB} + 2\vec{PD}$$
우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 $\vec{AC} \cdot \vec{AQ}$이므로, 시점을 모두 $A$로 통일하여 $\vec{AQ}$를 표현해 보겠습니다.
- $\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP}$
- $\vec{PB} = \vec{AB} - \vec{AP}$
- $\vec{PD} = \vec{AD} - \vec{AP}$
이것들을 원래 식에 대입합니다:
$$4(\vec{AQ} - \vec{AP}) = (\vec{AB} - \vec{AP}) + 2(\vec{AD} - \vec{AP})$$
우변을 전개하여 정리하면:
$$4\vec{AQ} - 4\vec{AP} = \vec{AB} + 2\vec{AD} - 3\vec{AP}$$
$-4\vec{AP}$를 우변으로 이항하면 아주 깔끔한 식을 얻을 수 있습니다:
$$4\vec{AQ} = \vec{AP} + \vec{AB} + 2\vec{AD}$$
$$\vec{AQ} = \frac{1}{4}\vec{AP} + \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$$
3단계: 구하고자 하는 내적 식 단순화하기
이제 구하고자 하는 내적 $\vec{AC} \cdot \vec{AQ}$에 위에서 구한 $\vec{AQ}$를 대입해 봅시다.
$$\vec{AC} \cdot \vec{AQ} = \vec{AC} \cdot \left( \frac{1}{4}\vec{AP} + \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} \right)$$
$$\vec{AC} \cdot \vec{AQ} = \frac{1}{4}(\vec{AC} \cdot \vec{AP}) + \frac{1}{4}(\vec{AC} \cdot \vec{AB}) + \frac{1}{2}(\vec{AC} \cdot \vec{AD})$$
여기서 점 $A, B, C, D$는 모두 고정된 점이므로, 뒤의 두 내적 값($\vec{AC} \cdot \vec{AB}$와 $\vec{AC} \cdot \vec{AD}$)은 상수입니다! 계산을 편리하게 하기 위해 좌표평면을 도입해 봅시다.
- 왼쪽 아래 꼭짓점 $B$를 원점 $(0,0)$으로 잡으면:
* $B = (0,0)$
* $C = (4,0)$
* $A = (0,4)$
* $D = (4,4)$
* 선분 $BC$의 중점 $M = (2,0)$
이 좌표를 이용해 필요한 벡터들을 성분으로 나타내 봅시다.
- $\vec{AB} = (0, -4)$
- $\vec{AD} = (4, 0)$
- $\vec{AC} = (4, -4)$
이제 상수 부분의 내적을 계산합니다:
- $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = (4)(0) + (-4)(-4) = 16$
- $\vec{AC} \cdot \vec{AD} = (4)(4) + (-4)(0) = 16$
이 값들을 식에 대입하면:
$$\vec{AC} \cdot \vec{AQ} = \frac{1}{4}(\vec{AC} \cdot \vec{AP}) + \frac{1}{4}(16) + \frac{1}{2}(16)$$
$$\vec{AC} \cdot \vec{AQ} = \frac{1}{4}(\vec{AC} \cdot \vec{AP}) + 4 + 8 = \frac{1}{4}(\vec{AC} \cdot \vec{AP}) + 12$$
결국, 우리는 **$\vec{AC} \cdot \vec{AP}$의 최대·최소**만 구하면 됩니다!
4단계: $\vec{AC} \cdot \vec{AP}$의 최대·최소 구하기
점 $P$는 중심이 $M(2,0)$이고 반지름이 $2$인 원 위의 점입니다. 원 위의 점이 등장할 때는 항상 원의 중심을 거쳐 가는 벡터 분할을 이용하는 것이 좋습니다.
$$\vec{AP} = \vec{AM} + \vec{MP}$$
이를 내적 식에 대입하면:
$$\vec{AC} \cdot \vec{AP} = \vec{AC} \cdot (\vec{AM} + \vec{MP}) = \vec{AC} \cdot \vec{AM} + \vec{AC} \cdot \vec{MP}$$
여기서도 $\vec{AC} \cdot \vec{AM}$은 고정된 값입니다. 계산해 볼까요?
- $\vec{AM} = M - A = (2, -4)$
- $\vec{AC} = (4, -4)$
- $\vec{AC} \cdot \vec{AM} = (4)(2) + (-4)(-4) = 8 + 16 = 24$
따라서,
$$\vec{AC} \cdot \vec{AP} = 24 + \vec{AC} \cdot \vec{MP}$$
이제 변하는 부분은 $\vec{AC} \cdot \vec{MP}$ 뿐입니다.
- $\vec{MP}$는 크기가 $2$로 일정한 벡터입니다 ($P$가 원 위의 점이므로).
- 두 벡터의 내적은 두 벡터의 방향이 같을 때 최대가 되고, 반대일 때 최소가 됩니다.
- $\vec{AC}$의 크기는 $|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = 4\sqrt{2}$ 입니다.
따라서:
- 최댓값: $\vec{AC} \cdot \vec{MP}$의 최댓값은 $|\vec{AC}| \times |\vec{MP}| = 4\sqrt{2} \times 2 = 8\sqrt{2}$
- 최솟값: $\vec{AC} \cdot \vec{MP}$의 최솟값은 $-|\vec{AC}| \times |\vec{MP}| = -8\sqrt{2}$
이를 통해 $\vec{AC} \cdot \vec{AP}$의 범위를 구하면:
- 최댓값: $24 + 8\sqrt{2}$
- 최솟값: $24 - 8\sqrt{2}$
5단계: 최종 답 구하기
우리가 구하고자 하는 $\vec{AC} \cdot \vec{AQ}$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$은 다음과 같습니다.
$$M = \frac{1}{4}(24 + 8\sqrt{2}) + 12 = 6 + 2\sqrt{2} + 12 = 18 + 2\sqrt{2}$$
$$m = \frac{1}{4}(24 - 8\sqrt{2}) + 12 = 6 - 2\sqrt{2} + 12 = 18 - 2\sqrt{2}$$
마지막으로 $M \times m$의 값을 구합니다 (합차 공식 사용):
$$M \times m = (18 + 2\sqrt{2})(18 - 2\sqrt{2}) = 18^2 - (2\sqrt{2})^2$$
$$M \times m = 324 - 8 = 316$$
답
$$316$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 만약 문제에서 점 $X$가 만족하는 조건이 다음과 같이 바뀌었다면, 점 $X$가 나타내는 도형 $S$는 어떤 도형이 될까요? 중심의 위치와 반지름을 말해보세요.
$$|\vec{XB} + \vec{XC}| = 8$$