어떤 문제인가
이 문제는 주어진 다항식의 거듭제곱을 전개했을 때, 특정 차수($x^6$)를 가진 항의 계수가 무엇인지 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이항정리 (Binomial Theorem): 두 항의 합의 거듭제곱 $(a+b)^n$을 전개하는 공식입니다.
- 일반항 (General Term): 전개식에서 임의의 항이 어떤 모양을 갖는지 나타내는 식입니다.
- **조합 (Combination, $_n\mathrm{C}_r$ 또는 $\binom{n}{r}$)**: 계수를 결정할 때 사용하는 경우의 수 공식입니다.
단계별 풀이
1단계: 이항정리의 일반항 세우기
다항식 $(a+b)^n$의 전개식에서 일반항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\binom{n}{r} a^r b^{n-r} \quad (단, r = 0, 1, 2, \dots, n)$$
이 공식에 문제에서 주어진 식 $(x^3 + 2)^5$를 대입해 봅시다.
- $a = x^3$
- $b = 2$
- $n = 5$
이 값들을 일반항 공식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$\binom{5}{r} (x^3)^r \cdot 2^{5-r}$$
이 식을 지수법칙을 이용해 $x$가 있는 부분과 숫자가 있는 부분으로 정리해 볼게요.
$$\binom{5}{r} \cdot 2^{5-r} \cdot x^{3r}$$
여기서 계수에 해당하는 부분은 $\binom{5}{r} \cdot 2^{5-r}$ 이고, 문자에 해당하는 부분은 $x^{3r}$ 입니다.
2단계: $x^6$ 항이 되기 위한 $r$의 값 구하기
우리가 찾고 싶은 것은 $x^6$의 계수입니다.
따라서 문자 부분인 $x^{3r}$이 $x^6$이 되어야 합니다.
지수끼리 서로 같아야 하므로 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다.
$$3r = 6$$
양변을 $3$으로 나누면,
$$r = 2$$
즉, $r=2$일 때 우리가 원하는 $x^6$ 항이 만들어집니다.
3단계: $r=2$를 대입하여 계수 계산하기
이제 구한 $r=2$를 계수 부분인 $\binom{5}{r} \cdot 2^{5-r}$에 대입하여 최종 계수를 계산해 봅시다.
$$\binom{5}{2} \cdot 2^{5-2} = \binom{5}{2} \cdot 2^3$$
각각의 값을 계산해 볼까요?
- 조합 계산: $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
- 거듭제곱 계산: $2^3 = 8$
이 두 값을 곱하면 계수가 나옵니다.
$$10 \times 8 = 80$$
따라서 $x^6$의 계수는 $80$입니다.
답
⑤ $80$
확인해보기
오늘 배운 이항정리의 일반항 공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 봅시다.
> 질문: 같은 다항식 $(x^3 + 2)^5$의 전개식에서 $x^9$의 계수는 얼마일까요? 방금 배운 단계를 차근차근 적용해서 직접 구해보세요!