어떤 문제인가
이 문제는 두 사건 $A$와 $B$의 조건부확률과 교집합의 확률이 주어졌을 때, 두 사건의 합집합의 확률 $\mathrm{P}(A \cup B)$를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 조건부확률의 정의: 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어날 확률은 $\mathrm{P}(A|B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}$ 입니다.
- 사건의 독립 (선택 개념): $\mathrm{P}(A|B) = \mathrm{P}(A)$라는 것은 사건 $B$가 일어나든 말든 사건 $A$가 일어날 확률에 영향을 주지 않는다는 뜻으로, 두 사건 $A, B$가 서로 '독립'임을 의미합니다.
- 확률의 덧셈정리: 두 사건 $A, B$에 대해 합집합의 확률은 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)$ 입니다.
단계별 풀이
1단계: 조건부확률의 정의를 이용해 $\mathrm{P}(B)$ 구하기
우리가 최종적으로 구해야 하는 것은 $\mathrm{P}(A \cup B)$입니다. 확률의 덧셈정리 식을 보면 $\mathrm{P}(A)$와 $\mathrm{P}(A \cap B)$는 문제에서 주어졌지만, $\mathrm{P}(B)$는 아직 모릅니다. 따라서 먼저 $\mathrm{P}(B)$를 구해야 합니다.
조건부확률의 정의 식을 써봅시다.
$$\mathrm{P}(A|B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}$$
문제에서 $\mathrm{P}(A|B) = \frac{1}{2}$이고, $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{5}$라고 주어졌으므로, 이 값들을 식에 대입합니다.
$$\frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{\mathrm{P}(B)}$$
양변에 $\mathrm{P}(B)$를 곱하고 정리하면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(B) = \frac{1}{5} \times 2 = \frac{2}{5}$$
*(참고: $\mathrm{P}(A|B) = \mathrm{P}(A)$이므로 두 사건은 독립입니다. 독립사건의 성질인 $\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$에 대입해도 $\frac{1}{5} = \frac{1}{2}\mathrm{P}(B)$가 되어 동일하게 $\mathrm{P}(B) = \frac{2}{5}$를 얻을 수 있습니다.)*
2단계: 확률의 덧셈정리를 이용해 $\mathrm{P}(A \cup B)$ 계산하기
이제 필요한 모든 재료($\mathrm{P}(A)$, $\mathrm{P}(B)$, $\mathrm{P}(A \cap B)$)를 구했습니다! 확률의 덧셈정리 공식에 대입해 봅시다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)$$
구한 값들을 대입합니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$$
계산을 편하게 하기 위해 뒤의 두 분수를 먼저 계산해 볼까요?
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{5}$$
이제 분모를 $10$으로 통분하여 더해줍니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{7}{10}$$
답
**③ $\frac{7}{10}$**
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 두 사건 $A$와 $B$가 서로 동시에 일어날 수 없는 '배반사건'이라면, 교집합의 확률인 $\mathrm{P}(A \cap B)$는 어떤 값을 가질까요? 그리고 이때 $\mathrm{P}(A \cup B)$를 구하는 식은 어떻게 간단해질까요?