어떤 문제인가
이 문제는 표본평균을 이용하여 모집단의 평균(모평균 $m$)을 추정할 때 생기는 신뢰구간의 길이를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 모평균의 신뢰구간: 표본을 통해 진짜 평균이 존재할 범위를 확률적으로 예측하는 것입니다.
- **신뢰구간의 길이 ($b-a$)**: 신뢰구간의 오른쪽 끝값에서 왼쪽 끝값을 뺀 값으로, 공식으로 정리해 두면 계산이 아주 간단해집니다.
- 정규분포와 표본의 크기: 문제에 주어진 기호들($N(m, 2^2)$, $n=256$)에서 표준편차($\sigma$)와 표본의 크기($n$)를 정확히 읽어내는 능력입니다.
단계별 풀이
1단계: 신뢰구간의 길이 공식 유도하기
모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 다음과 같이 구합니다.
$$\bar{X} - k \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{X} + k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
여기서 문제에 제시된 신뢰구간이 $a \le m \le b$이므로, 각각의 값은 다음과 같습니다.
$$a = \bar{X} - k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
$$b = \bar{X} + k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
우리가 구하고자 하는 것은 $b-a$입니다. $b$에서 $a$를 빼면 표본평균 $\bar{X}$는 사라지고 다음 공식만 남게 됩니다.
$$b-a = 2k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
이 공식 덕분에 우리는 표본평균($\bar{X}$)의 값을 몰라도 신뢰구간의 길이를 바로 구할 수 있습니다!
2단계: 문제에서 필요한 조건 찾기
공식 $b-a = 2k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$에 대입할 값들을 문제에서 하나씩 찾아봅시다.
- **신뢰도 상수 $k$**: 문제 단서에서 $\text{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$라고 했으므로, 신뢰도 $95\%$에 해당하는 상수 $k = 1.96$입니다.
- **모표준편차 $\sigma$**: 모집단이 정규분포 $\text{N}(m, 2^2)$을 따른다고 했으므로, 분산이 $2^2$입니다. 따라서 모표준편차 $\sigma = 2$입니다.
- **표본의 크기 $n$**: 크기가 $256$인 표본을 추출했으므로 $n = 256$입니다. 따라서 $\sqrt{n} = \sqrt{256} = 16$이 됩니다.
3단계: 공식에 대입하여 계산하기
이제 찾아낸 값들을 공식에 대입해 봅시다.
$$b-a = 2 \times 1.96 \times \frac{2}{16}$$
약분을 먼저 해서 계산을 편하게 만들어 볼까요?
$$b-a = 2 \times 1.96 \times \frac{1}{8}$$
$$b-a = 1.96 \times \frac{2}{8}$$
$$b-a = 1.96 \times \frac{1}{4}$$
이제 $1.96$을 $4$로 나누어 줍니다.
$$1.96 \div 4 = 0.49$$
따라서 $b-a$의 값은 $0.49$입니다.
답
**① $0.49$**
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 다른 조건(신뢰도, 모표준편차)은 모두 그대로 두고, 표본의 크기 $n$만 $256$에서 $64$로 줄인다면 신뢰구간의 길이 $b-a$는 처음 구한 값의 몇 배가 될까요? (직접 계산하지 말고 공식의 성질을 이용해서 생각해보세요!)