어떤 문제인가
이 문제는 전체 학생 중에서 임의로 몇 명을 뽑을 때, 특정 조건("적어도 한 명이 과목 B를 선택")을 만족할 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **조합 (Combination, $_nC_r$):** 순서와 상관없이 $n$명 중에서 $r$명을 선택하는 방법의 수입니다.
- 여사건의 확률: '적어도 ~일 확률'을 구할 때는, 구하고자 하는 사건의 반대 사건(여사건)의 확률을 구해서 전체 확률인 $1$에서 빼는 것이 훨씬 빠르고 편리합니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
우선, 학급 전체 학생 $16$명 중에서 아무런 조건 없이 임의로 $3$명을 뽑는 전체 경우의 수를 구해야 합니다. 순서는 상관없으므로 조합($_nC_r$)을 사용합니다.
$$_{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$$
따라서 전체 경우의 수는 $560$가지입니다.
2단계: 여사건(반대 사건) 정의하기
문제에서 요구한 사건은 "선택한 3명 중 적어도 한 명이 과목 B를 선택한 학생일 확률"입니다.
이 사건의 반대 상황(여사건)은 무엇일까요? 바로 "선택한 3명 모두 과목 A를 선택한 학생일 확률"입니다.
'적어도 한 명이 B'라는 것은 B가 1명, 2명, 또는 3명인 경우를 모두 포함하므로, 이를 각각 구하는 것보다 '모두 A를 선택한 경우'를 구해서 전체에서 빼는 것이 훨씬 간단합니다.
3단계: 여사건의 경우의 수와 확률 구하기
과목 A를 선택한 학생은 총 $9$명입니다. 이 $9$명 중에서만 $3$명을 모두 뽑는 경우의 수를 구합니다.
$$_9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$$
따라서 모두 과목 A를 선택한 학생만 뽑힐 확률(여사건의 확률)은 다음과 같습니다.
$$\text{여사건의 확률} = \frac{84}{560}$$
이 분수를 약분해 봅시다. 분모와 분자를 각각 $28$로 나누면 다음과 같습니다.
$$\frac{84}{560} = \frac{3}{20}$$
4단계: 최종 확률 구하기
우리가 구하고자 하는 확률은 전체 확률 $1$에서 여사건의 확률을 뺀 값입니다.
$$\text{구하는 확률} = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$$
답
③ $\frac{17}{20}$
확인해보기
질문: 주머니 속에 빨간 공 5개와 파란 공 3개가 들어있습니다. 이 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, "적어도 한 개는 파란 공일 확률"을 여사건을 이용하여 구하려고 합니다. 이때 우리가 구해서 $1$에서 빼야 하는 '반대 사건(여사건)의 확률'은 구체적으로 어떤 사건의 확률일까요?