어떤 문제인가
이 문제는 통계 단원에서 표본평균의 분포와 확률변수의 분산의 성질을 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음 3가지입니다.
- **모분산 $\mathrm{V}(X)$ 구하기**: 주머니 속 5장의 카드가 가진 원래 분포(모집단)의 분산을 구합니다.
- **표본평균의 분산 $\mathrm{V}(\overline{X})$**: 크기가 $n$인 표본을 복원추출할 때, 표본평균의 분산은 모분산을 표본의 크기로 나눈 것과 같습니다. ($\mathrm{V}(\overline{X}) = \frac{\mathrm{V}(X)}{n}$)
- 분산의 성질: 확률변수에 상수를 곱하고 더했을 때 분산이 어떻게 변하는지 이해합니다. ($\mathrm{V}(aY + b) = a^2 \mathrm{V}(Y)$)
단계별 풀이
1단계: 모집단의 평균 $\mathrm{E}(X)$와 분산 $\mathrm{V}(X)$ 구하기
먼저 주머니에 들어 있는 카드 한 장을 꺼낼 때 나오는 수를 확률변수 $X$라고 합시다. $X$가 가질 수 있는 값은 $1, 3, 5, 7, 9$이고, 각각의 카드가 나올 확률은 모두 $\frac{1}{5}$로 같습니다.
- **모평균 $\mathrm{E}(X)$ 계산하기**
모든 값을 더한 뒤 전체 개수로 나눕니다.
$$\mathrm{E}(X) = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5$$
- **모분산 $\mathrm{V}(X)$ 계산하기**
분산은 '(편차)$^2$의 평균'입니다. 각 값에서 평균 $5$를 뺀 값을 제곱하여 평균을 구합니다.
$$\mathrm{V}(X) = \frac{(1-5)^2 + (3-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{5}$$
$$\mathrm{V}(X) = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5}$$
$$\mathrm{V}(X) = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8$$
따라서 모집단의 분산은 $\mathrm{V}(X) = 8$입니다.
2단계: 표본평균의 분산 $\mathrm{V}(\overline{X})$ 구하기
이 시행을 3번 반복하여 확인한 수의 평균을 $\overline{X}$라고 했습니다. 이는 크기가 $n=3$인 표본을 복원추출한 것과 같습니다.
표본평균의 분산 $\mathrm{V}(\overline{X})$은 모분산 $\mathrm{V}(X)$를 표본의 크기 $n$으로 나눈 값입니다.
$$\mathrm{V}(\overline{X}) = \frac{\mathrm{V}(X)}{n} = \frac{8}{3}$$
3단계: 분산의 성질을 이용하여 양수 $a$의 값 구하기
이제 문제에서 주어진 조건인 $\mathrm{V}(a\overline{X}+6) = 24$를 이용합시다.
분산의 성질에 의해, 확률변수에 더해진 상수($+6$)는 분산에 영향을 주지 않고, 곱해진 상수($a$)는 제곱이 되어 밖으로 나옵니다.
$$\mathrm{V}(a\overline{X}+6) = a^2 \mathrm{V}(\overline{X})$$
이 식에 우리가 구한 값들을 대입해 볼까요?
$$a^2 \times \frac{8}{3} = 24$$
양변에 $\frac{3}{8}$을 곱하여 $a^2$을 구합니다.
$$a^2 = 24 \times \frac{3}{8}$$
$$a^2 = 3 \times 3 = 9$$
문제에서 $a$는 양수라고 했으므로,
$$a = 3$$
이 됩니다.
답
③ 3
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 만약 이 주머니에서 카드를 3번이 아니라 2번 꺼내어 평균을 구했다면(즉, 표본의 크기 $n=2$), 표본평균의 분산 $\mathrm{V}(\overline{X})$은 얼마가 될까요? (위 풀이의 2단계를 참고하여 생각해 보세요.)