어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 가지 조건 (가)와 (나)를 만족하는 함수 $f: X \to X$의 개수를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 세 가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- 약수의 성질: 곱해서 6의 약수가 되는 순서쌍 찾기
- 부등식의 성질: 조건 (나)를 만족하기 위한 $f(1)$과 $f(6)$의 대소 관계 파악하기
- **중복조합 ($_nH_r$)**: 크기가 순서대로 정해져 있고 등호가 포함된 선택을 할 때 사용하는 경우의 수 공식
단계별 풀이
1단계: 조건 (가) 분석하기 — $f(1) \times f(6)$의 값 정하기
조건 (가)에서 $f(1) \times f(6)$의 값이 6의 약수라고 했습니다.
6의 약수는 $1, 2, 3, 6$이 있습니다.
함수의 공역이 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$이므로, $f(1)$과 $f(6)$은 모두 $1$부터 $6$까지의 자연수만 가능합니다. 곱해서 $1, 2, 3, 6$이 되는 순서쌍 $(f(1), f(6))$을 모두 찾아봅시다.
- 곱이 1인 경우: $(1, 1)$
- 곱이 2인 경우: $(1, 2), (2, 1)$
- 곱이 3인 경우: $(1, 3), (3, 1)$
- 곱이 6인 경우: $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$
2단계: 조건 (나) 분석하기 — 가능한 순서쌍 추려내기
조건 (나)를 보면 다음과 같은 부등식이 있습니다.
$$2f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 2f(6)$$
이 식의 양 끝을 보면 $2f(1) \le 2f(6)$이 성립해야 하므로, 양변을 2로 나누면 **$f(1) \le f(6)$**이어야만 합니다. 만약 $f(1) > f(6)$이라면 이 부등식을 만족하는 함수는 존재할 수 없기 때문이죠.
따라서 1단계에서 구한 순서쌍 중 $f(1) \le f(6)$을 만족하는 것만 골라내면 다음과 같이 5가지 경우로 좁혀집니다.
- $(f(1), f(6)) = (1, 1)$
- $(f(1), f(6)) = (1, 2)$
- $(f(1), f(6)) = (1, 3)$
- $(f(1), f(6)) = (1, 6)$
- $(f(1), f(6)) = (2, 3)$
3단계: 각 경우별로 중복조합을 이용하여 함수 개수 구하기
이제 $f(2), f(3), f(4), f(5)$의 값을 정해줄 차례입니다. 이 값들은 크기 순서가 정해져 있고 등호가 있으므로 중복조합을 사용합니다.
서로 다른 $n$개에서 중복을 허용하여 $r$개를 택하는 중복조합의 수는 $_nH_r = _{n+r-1}C_r$ 입니다.
다섯 가지 경우를 하나씩 계산해 봅시다.
경우 1) $(f(1), f(6)) = (1, 1)$ 일 때
부등식에 대입하면:
$$2(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 2(1)$$
$$2 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 2$$
이때는 $f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = 2$로 모두 같아야 하므로, 가능한 경우의 수는 **$1$가지**입니다.
경우 2) $(f(1), f(6)) = (1, 2)$ 일 때
부등식에 대입하면:
$$2(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 2(2)$$
$$2 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 4$$
$f(2)$부터 $f(5)$까지의 값은 $\{2, 3, 4\}$의 3개의 숫자 중에서 중복을 허용하여 4개를 선택하는 중복조합입니다.
$$\text{경우의 수} = _3H_4 = _{3+4-1}C_4 = _6C_4 = _6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$
경우 3) $(f(1), f(6)) = (1, 3)$ 일 때
부등식에 대입하면:
$$2(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 2(3)$$
$$2 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 6$$
$f(2)$부터 $f(5)$까지의 값은 $\{2, 3, 4, 5, 6\}$의 5개의 숫자 중에서 중복을 허용하여 4개를 선택하는 중복조합입니다.
$$\text{경우의 수} = _5H_4 = _{5+4-1}C_4 = _8C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$$
경우 4) $(f(1), f(6)) = (1, 6)$ 일 때
부등식에 대입하면:
$$2(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 2(6)$$
$$2 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 12$$
여기서 주의할 점이 있습니다! 공역 $X$의 원소는 최대 $6$까지이므로, $f(x)$의 값은 $12$가 될 수 없고 최대 $6$까지만 가능합니다.
따라서 실제 부등식은 다음과 같습니다.
$$2 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 6$$
이것은 경우 3과 동일한 상황이므로 경우의 수는 **$70$가지**입니다.
경우 5) $(f(1), f(6)) = (2, 3)$ 일 때
부등식에 대입하면:
$$2(2) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 2(3)$$
$$4 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 6$$
$f(2)$부터 $f(5)$까지의 값은 $\{4, 5, 6\}$의 3개의 숫자 중에서 중복을 허용하여 4개를 선택하는 중복조합입니다.
$$\text{경우의 수} = _3H_4 = 15$$
4단계: 전체 경우의 수 더하기
모든 경우는 동시에 일어날 수 없으므로(합의 법칙), 구한 경우의 수들을 모두 더합니다.
$$\text{전체 함수 개수} = 1 + 15 + 70 + 70 + 15 = 171$$
답
정답은 ② 171 입니다.
확인해보기
**Q. 경우 4에서 $2f(6) = 12$였지만, 우리는 우변의 경계값을 $12$가 아닌 $6$으로 생각하여 계산했습니다. 그 이유는 무엇일까요? 함수의 정의와 관련지어 생각해 보세요.**