어떤 문제인가
이 문제는 정규분포의 두 가지 핵심 성질인 대칭성과 평행이동(또는 표준화)을 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 개념은 다음과 같습니다.
- 정규분포의 대칭성: 정규분포 곡선은 평균 $m$을 중심으로 좌우 대칭입니다.
- 확률변수의 변환: 확률변수 사이의 관계식을 통해 평균과 표준편차가 어떻게 변하는지 이해하는 것입니다.
- 표준화: 서로 다른 정규분포를 비교하기 위해 표준정규분포 $Z \sim \text{N}(0, 1)$로 바꾸는 공식 $Z = \frac{X - m}{\sigma}$을 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건으로 $X$의 평균 $m_1$ 구하기
첫 번째 조건은 모든 실수 $x$에 대하여 다음과 같다고 합니다.
$$\text{P}(X \le x) = \text{P}(X \ge 40 - x)$$
정규분포 곡선은 평균 $m_1$을 기준으로 대칭입니다. 따라서 어떤 값 $x$보다 작거나 같을 확률과 $40-x$보다 크거나 같을 확률이 항상 같으려면, $x$와 $40-x$는 평균 $m_1$으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있어야 합니다.
즉, $x$와 $40-x$의 한가운데(중점)가 바로 평균 $m_1$이 됩니다.
$$m_1 = \frac{x + (40 - x)}{2} = \frac{40}{2} = 20$$
따라서 $X$의 평균은 **$m_1 = 20$**입니다.
2단계: 두 번째 조건으로 $Y$의 평균 $m_2$와 표준편차 $\sigma_2$의 관계 구하기
두 번째 조건은 모든 실수 $x$에 대하여 다음과 같습니다.
$$\text{P}(Y \le x) = \text{P}(X \le x + 10)$$
이 식의 의미를 직관적으로 이해해 봅시다. $Y$가 $x$ 이하일 확률이 $X$가 $x+10$ 이하일 확률과 같다는 것은, 확률변수 $Y$가 $X$보다 항상 $10$만큼 작은 값을 가진다는 뜻입니다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$Y = X - 10$$
확률변수에 상수를 더하거나 빼도 분포의 모양(표준편차)은 변하지 않고, 평균만 평행이동합니다.
- 평균: $m_2 = \text{E}(Y) = \text{E}(X - 10) = m_1 - 10$
- 표준편차: $\sigma_2 = \sigma_1$ (두 분포의 표준편차는 같습니다. 편의상 이를 $\sigma$라고 놓겠습니다.)
1단계에서 $m_1 = 20$임을 구했으므로, $Y$의 평균은 다음과 같습니다.
$$m_2 = 20 - 10 = 10$$
정리하면 다음과 같습니다.
- $X \sim \text{N}(20, \sigma^2)$
- $Y \sim \text{N}(10, \sigma^2)$
3단계: 주어진 확률의 합을 이용하여 표준편차 $\sigma$ 구하기
이제 문제에서 주어진 확률 식을 표준화해 봅시다.
$$\text{P}(15 \le X \le 20) + \text{P}(15 \le Y \le 20) = 0.4772$$
두 확률을 각각 표준화 공식 $Z = \frac{\text{변수} - \text{평균}}{\text{표준편차}}$를 이용해 표준정규분포 $Z$로 나타내어 봅시다.
**1) $\text{P}(15 \le X \le 20)$ 표준화하기 ($m_1 = 20$)**
$$\text{P}\left(\frac{15 - 20}{\sigma} \le Z \le \frac{20 - 20}{\sigma}\right) = \text{P}\left(-\frac{5}{\sigma} \le Z \le 0\right)$$
표준정규분포는 $0$을 기준으로 대칭이므로, 이 확률은 다음과 같습니다.
$$\text{P}\left(0 \le Z \le \frac{5}{\sigma}\right)$$
**2) $\text{P}(15 \le Y \le 20)$ 표준화하기 ($m_2 = 10$)**
$$\text{P}\left(\frac{15 - 10}{\sigma} \le Z \le \frac{20 - 10}{\sigma}\right) = \text{P}\left(\frac{5}{\sigma} \le Z \le \frac{10}{\sigma}\right)$$
이 확률은 구간의 차를 이용해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\text{P}\left(0 \le Z \le \frac{10}{\sigma}\right) - \text{P}\left(0 \le Z \le \frac{5}{\sigma}\right)$$
3) 두 확률 더하기
이제 두 식을 더해봅시다.
$$\text{P}(15 \le X \le 20) + \text{P}(15 \le Y \le 20) = \text{P}\left(0 \le Z \le \frac{5}{\sigma}\right) + \left[ \text{P}\left(0 \le Z \le \frac{10}{\sigma}\right) - \text{P}\left(0 \le Z \le \frac{5}{\sigma}\right) \right]$$
동류항인 $\text{P}\left(0 \le Z \le \frac{5}{\sigma}\right)$가 서로 지워집니다!
$$= \text{P}\left(0 \le Z \le \frac{10}{\sigma}\right)$$
이 값이 $0.4772$라고 주어졌습니다.
$$\text{P}\left(0 \le Z \le \frac{10}{\sigma}\right) = 0.4772$$
오른쪽 표준정규분포표에서 $\text{P}(0 \le Z \le z) = 0.4772$를 만족하는 $z$ 값을 찾으면 **$2.0$**입니다.
따라서,
$$\frac{10}{\sigma} = 2 \implies \sigma = 5$$
즉, $\sigma_2 = \sigma = 5$입니다.
4단계: 최종 값 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 $m_1 + \sigma_2$입니다.
- $m_1 = 20$
- $\sigma_2 = 5$
$$m_1 + \sigma_2 = 20 + 5 = 25$$
답
$$25$$
확인해보기
정규분포의 대칭성을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> [질문]
> 정규분포 $\text{N}(m, \sigma^2)$을 따르는 확률변수 $W$가 있습니다. 모든 실수 $x$에 대하여 $\text{P}(W \le 10 + x) = \text{P}(W \ge 30 - x)$가 성립할 때, 이 확률변수 $W$의 평균 $m$은 얼마일까요?