어떤 문제인가
본 문제는 주사위를 던져 나오는 눈에 따라 동전을 뒤집는 시행을 3번 반복할 때, 초기 상태(앞, 앞, 뒤, 뒤, 뒤)에서 최종 상태가 모두 앞면이 될 확률을 구하는 확률 문제입니다. 주사위의 눈이 6이 나올 때 모든 동전이 뒤집히는 독특한 규칙이 있으므로, 6이 나오는 횟수에 따라 경우를 분류하여 각 동전이 뒤집히는 횟수의 홀짝성을 분석하는 것이 핵심입니다.
단계별 풀이
1단계: 동전이 모두 앞면이 되기 위한 조건 분석
5개의 동전의 초기 상태는 다음과 같습니다.
- 1번째, 2번째 동전: 앞면 ($\text{H}$)
- 3번째, 4번째, 5번째 동전: 뒷면 ($\text{T}$)
3번의 시행 후 모든 동전이 앞면($\text{H}$)이 되려면, 각 동전이 뒤집히는 횟수를 $c_i$ ($i=1, 2, 3, 4, 5$)라고 할 때 다음 조건을 만족해야 합니다.
- 원래 앞면이었던 1번째, 2번째 동전: $c_1, c_2$는 짝수 (0 포함)
- 원래 뒷면이었던 3번째, 4번째, 5번째 동전: $c_3, c_4, c_5$는 홀수
2단계: 주사위 눈 6이 나오는 횟수($m$)에 따른 경우 분류
주사위를 3번 던질 때, 눈이 6이 나오는 횟수를 $m$ ($0 \le m \le 3$)이라 하고 경우를 나눕니다.
경우 1) $m = 0$ (6이 한 번도 나오지 않는 경우)
3번 모두 $1 \le k \le 5$인 눈이 나옵니다. 이때는 매 시행마다 단 하나의 동전만 뒤집히므로, 뒤집힌 총 횟수의 합은 $\sum_{i=1}^5 c_i = 3$입니다.
- $c_3, c_4, c_5$가 모두 홀수여야 하므로 각각 최소 1회 이상 뒤집혀야 합니다.
- $c_3 \ge 1, c_4 \ge 1, c_5 \ge 1$이므로 이들의 합은 최소 3입니다.
- 따라서 반드시 $c_3 = 1, c_4 = 1, c_5 = 1$이고, $c_1 = 0, c_2 = 0$이어야 합니다.
- 즉, 3번의 시행에서 나온 주사위의 눈이 $\{3, 4, 5\}$의 순열이어야 합니다.
- 이 확률은 다음과 같습니다.
$$P_1 = 3! \times \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{6}{216}$$
경우 2) $m = 1$ (6이 정확히 한 번 나오는 경우)
6이 1번 나오고, $1 \le k \le 5$인 눈이 2번 나옵니다.
6이 나올 때 모든 동전이 1번씩 뒤집히므로, 나머지 2번의 시행에서 뒤집히는 동전의 번호를 $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$라 하면 각 동전이 뒤집히는 횟수는 $c_i = 1 + (a, b \text{ 중 } i\text{가 나타난 횟수})$입니다.
- $c_1, c_2$가 짝수가 되려면, $a, b$ 중 1과 2가 각각 정확히 1번씩 나타나야 합니다.
- $c_3, c_4, c_5$가 홀수가 되려면, $a, b$ 중 3, 4, 5는 나타나지 않아야 합니다 (0번 나타남).
- 따라서 나머지 두 번의 시행에서 나온 눈은 $\{1, 2\}$의 순열이어야 합니다.
- 즉, 3번의 시행에서 나온 주사위의 눈이 $\{6, 1, 2\}$의 순열이어야 하므로, 이 확률은 다음과 같습니다.
$$P_2 = 3! \times \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{6}{216}$$
주의: 6이 1번 나오는 경우, 나머지 두 번의 시행에서 1과 2가 아닌 다른 눈(예: 3이 두 번 나오는 경우 등)이 나오는 오답 경로를 선택하지 않도록 주의해야 합니다.
경우 3) $m = 2$ (6이 정확히 두 번 나오는 경우)
6이 2번 나오고, $1 \le k \le 5$인 눈이 1번($a$) 나옵니다.
- 모든 동전이 기본적으로 2번씩 뒤집히고, $a$번째 동전만 1번 더 뒤집힙니다.
- 즉, $c_a = 3$ (홀수)이고, 나머지 동전은 모두 2번(짝수) 뒤집힙니다.
- 이 경우 $c_3, c_4, c_5$가 모두 홀수가 되어야 하는 조건을 동시에 만족할 수 없습니다.
$$P_3 = 0$$
경우 4) $m = 3$ (6이 세 번 나오는 경우)
6이 3번 나옵니다.
- 모든 동전이 각각 3번씩 뒤집히므로 $c_1 = c_2 = 3$ (홀수)이 되어 1번째, 2번째 동전이 뒷면이 됩니다.
$$P_4 = 0$$
3단계: 최종 확률 및 $p+q$ 구하기
구하고자 하는 확률 $\frac{q}{p}$는 각 경우의 확률의 합입니다.
$$\frac{q}{p} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = \frac{6}{216} + \frac{6}{216} + 0 + 0 = \frac{12}{216} = \frac{1}{18}$$
따라서 $p = 18$, $q = 1$이며, 두 수는 서로소인 자연수입니다.
$$p + q = 18 + 1 = 19$$
답
19
확인해보기
구한 확률 $\frac{1}{18}$이 맞는지 검산해 봅시다.
전체 주사위를 3번 던지는 경우의 수는 $6^3 = 216$가지입니다.
- 경우 1에서 조건을 만족하는 주사위 눈의 순서쌍은 $(3, 4, 5)$의 나열이므로 $3! = 6$가지입니다.
- 경우 2에서 조건을 만족하는 주사위 눈의 순서쌍은 $(1, 2, 6)$의 나열이므로 $3! = 6$가지입니다.
- 다른 경우에서는 조건을 만족하는 경우가 존재하지 않습니다.
따라서 조건을 만족하는 총 경우의 수는 $6 + 6 = 12$가지이며, 확률은 $\frac{12}{216} = \frac{1}{18}$이 되어 계산에 오류가 없음을 확실히 알 수 있습니다.