어떤 문제인가
이 문제는 $n$이 무한히 커질 때, 지수 형태를 포함한 분수식의 극한값(무한대 분의 무한대 꼴, $\frac{\infty}{\infty}$)을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수법칙: $3^{n+1} = 3 \times 3^n$과 같이 지수를 분리하여 식을 정리하는 방법입니다.
- 등비수열의 극한: 공비 $r$의 절댓값이 1보다 작을 때($|r| < 1$), $n$이 무한대로 가면 $r^n$은 $0$으로 수렴합니다. 즉, $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$입니다.
- 분모의 가장 큰 밑으로 나누기: 분모에서 밑이 가장 큰 항으로 분자, 분모를 나누어 식을 단순화하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 분자의 지수 식 정리하기
먼저 분자에 있는 $3^{n+1}$을 지수법칙을 이용해 보기 좋게 정리해 봅시다. $3^{n+1}$은 $3^n \times 3^1$과 같습니다.
$$4 \times 3^{n+1} = 4 \times 3 \times 3^n = 12 \times 3^n$$
이 식을 원래 문제에 대입하면 다음과 같이 바뀝니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{12 \times 3^n}{2^n + 3^n}$$
2단계: 분모에서 밑이 가장 큰 항 찾고 분자·분모 나누기
$n$이 무한대로 갈 때, 밑이 더 큰 항이 훨씬 빠르게 커집니다. 분모를 보면 밑이 $2$인 항($2^n$)과 $3$인 항($3^n$)이 있습니다. 이 중 밑이 더 큰 것은 $3$입니다.
따라서 분자와 분모를 모두 $3^n$으로 나누어 줍니다. 이렇게 하면 식의 값은 변하지 않으면서 극한을 구하기 쉬운 형태로 바뀝니다.
$$\frac{\frac{12 \times 3^n}{3^n}}{\frac{2^n + 3^n}{3^n}} = \frac{12}{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}$$
3단계: 극한값 계산하기
이제 $n$을 무한대($\infty$)로 보내봅시다.
분모에 있는 $\left(\frac{2}{3}\right)^n$에서 밑인 $\frac{2}{3}$는 $1$보다 작습니다. $1$보다 작은 수를 계속해서 곱하면 결국 $0$에 가까워지겠죠?
즉, $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$이 됩니다.
이 성질을 식에 적용하면 다음과 같습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{12}{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1} = \frac{12}{0 + 1} = 12$$
답
① 12
확인해보기
오늘 배운 방법을 적용해서 다음 식의 극한값은 어떻게 구할 수 있을지 스스로 생각해보세요.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + 2^n}{5^{n+1}}$$
*(힌트: 분모와 분자를 분모에서 밑이 가장 큰 항인 $5^n$으로 나누어 보세요!)*