어떤 문제인가
이 문제는 주어진 곡선 위의 한 점에서의 **접선의 $x$절편**을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 음함수의 미분법 (Implicit Differentiation): $x$와 $y$가 섞여 있는 식을 $x$에 대해 미분하는 방법입니다. $y$를 $x$에 대한 함수로 생각하고 미분해야 합니다.
- 합성함수의 미분법 (Chain Rule): $\cos(xy)$처럼 함수 안에 다른 함수가 합성되어 있을 때, 겉의 함수를 미분하고 속의 함수를 미분해서 곱하는 방법입니다.
- **접선의 방정식과 $x$절편:** 접선의 기울기 $m$과 지나는 점 $(x_1, y_1)$을 알면 접선의 방정식을 세울 수 있고, $y=0$을 대입하여 $x$절편을 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 양변을 $x$에 대해 미분하기 (음함수의 미분법)
접선의 기울기를 구하기 위해 주어진 곡선의 방정식 $3x + y + \cos(xy) = 2$의 양변을 $x$에 대해 미분해 봅시다. 이때 $y$는 $x$에 대한 함수이므로, $y$를 미분할 때는 $\frac{dy}{dx}$를 곱해주어야 합니다.
- $3x$를 미분하면: $3$
- $y$를 미분하면: $\frac{dy}{dx}$
- $\cos(xy)$를 미분하면 (합성함수와 곱의 미분법 적용):
$$\frac{d}{dx}[\cos(xy)] = -\sin(xy) \cdot \frac{d}{dx}(xy)$$
여기서 $xy$는 두 식의 곱이므로 곱의 미분법을 씁니다.
$$\frac{d}{dx}(xy) = 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}$$
따라서, $\cos(xy)$의 미분은 $-\sin(xy) \cdot \left(y + x\frac{dy}{dx}\right)$가 됩니다.
- 우변의 상수 $2$를 미분하면: $0$
이것들을 모두 합치면 다음과 같은 미분 방정식을 얻을 수 있습니다.
$$3 + \frac{dy}{dx} - \sin(xy) \cdot \left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 0$$
2단계: 점 $(0, 1)$에서의 접선의 기울기 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 점 $(0, 1)$에서의 접선의 기울기입니다. 즉, $x = 0$, $y = 1$일 때의 $\frac{dy}{dx}$의 값입니다.
식을 복잡하게 정리할 필요 없이, 바로 $x = 0$과 $y = 1$을 위 식에 대입해 봅시다!
$$3 + \frac{dy}{dx} - \sin(0 \cdot 1) \cdot \left(1 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}\right) = 0$$
$\sin(0) = 0$이므로, 식은 아주 간단해집니다.
$$3 + \frac{dy}{dx} - 0 \cdot (1) = 0$$
$$3 + \frac{dy}{dx} = 0$$
$$\frac{dy}{dx} = -3$$
따라서 점 $(0, 1)$에서의 접선의 기울기는 $-3$입니다.
3단계: 접선의 방정식 구하기
기울기가 $-3$이고 점 $(0, 1)$을 지나는 직선의 방정식을 구해봅시다.
$$y - 1 = -3(x - 0)$$
$$y = -3x + 1$$
4단계: $x$절편 구하기
$x$절편은 그래프가 $x$축과 만나는 점이므로, $y = 0$일 때의 $x$값입니다. 접선의 방정식에 $y = 0$을 대입해 봅시다.
$$0 = -3x + 1$$
$$3x = 1$$
$$x = \frac{1}{3}$$
따라서 접선의 $x$절편은 $\frac{1}{3}$입니다.
답
**② $\frac{1}{3}$**
확인해보기
음함수의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
질문: 곡선 $x^2 + y^2 = 5$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 기울기를 음함수의 미분법을 이용하여 구해보세요. (답은 구하지 말고, 풀이 과정만 머릿속으로 그려보세요!)