반갑습니다! 오늘도 수학 실력을 한 단계 더 올려봅시다. 이 문제는 급수의 수렴 조건과 부분분수를 이용한 급수의 계산을 결합한 아주 좋은 문제입니다. 차근차근 해결해 나가면 전혀 어렵지 않으니, 선생님과 함께 한 단계씩 풀어봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 무한히 많은 항을 더하는 '급수'가 수렴할 때, 미지수 $a$와 급수의 합 $S$를 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 급수의 수렴과 일반항의 극한: 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하면, 일반항의 극한값은 반드시 $0$이 됩니다. 즉, $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$입니다.
- 부분분수 분해: 분모가 곱의 형태인 분수를 두 분수의 차로 쪼개는 공식입니다.
$$ \frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A} \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right) $$
단계별 풀이
1단계: 급수가 수렴할 조건을 이용하여 $a$의 값 구하기
급수가 실수 $S$에 수렴한다고 했으므로, 급수의 일반항을 $a_n$이라고 하면 $n$이 무한대로 갈 때 $a_n$의 극한값은 $0$이 되어야 합니다.
일반항 $a_n$은 다음과 같습니다.
$$ a_n = \frac{a-3n}{n} + \frac{an+6}{n+a} $$
이 일반항의 극한을 구해봅시다. 분모와 분자를 각각 $n$으로 나누어 극한값을 계산합니다.
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{a}{n}-3}{1} + \frac{a+\frac{6}{n}}{1+\frac{a}{n}} \right) $$
$n \to \infty$일 때 $\frac{a}{n} \to 0$, $\frac{6}{n} \to 0$이므로,
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = -3 + a $$
급수가 수렴하려면 이 극한값이 $0$이어야 하므로,
$$ a - 3 = 0 \implies a = 3 $$
문제에서 $a$는 양수라고 했으므로 $a=3$이 맞습니다.
2단계: 일반항에 $a=3$을 대입하여 식 정리하기
이제 구한 $a=3$을 일반항 $a_n$에 대입하여 식을 간단하게 정리해 봅시다.
$$ a_n = \frac{3-3n}{n} + \frac{3n+6}{n+3} $$
두 분수를 통분하여 하나의 분수로 합쳐봅시다. 분모는 $n(n+3)$이 됩니다.
$$ a_n = \frac{(3-3n)(n+3) + n(3n+6)}{n(n+3)} $$
분자를 전개해서 정리해 볼까요?
$$ (3-3n)(n+3) = 3n + 9 - 3n^2 - 9n = -3n^2 - 6n + 9 $$
$$ n(3n+6) = 3n^2 + 6n $$
두 식을 더하면 분자는 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$ (-3n^2 - 6n + 9) + (3n^2 + 6n) = 9 $$
따라서 일반항 $a_n$은 다음과 같습니다.
$$ a_n = \frac{9}{n(n+3)} $$
3단계: 부분분수를 이용하여 급수의 합 $S$ 구하기
이제 급수 $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{n(n+3)}$의 값을 구할 차례입니다. 분모가 곱의 형태이므로 부분분수 공식을 적용합니다.
$$ \frac{9}{n(n+3)} = 9 \cdot \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) = 3 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) $$
급수의 합을 구하기 위해, 첫째항부터 제 $N$항까지의 부분합 $S_N$을 먼저 구합니다.
$$ S_N = 3 \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) $$
괄호 안의 식에 $n=1$부터 $N$까지 차례대로 대입하여 나열해 봅시다.
$$ S_N = 3 \left[ \left(1 - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{N-2} - \frac{1}{N+1}\right) + \left(\frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+2}\right) + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+3}\right) \right] $$
이 식에서 서로 지워지는 항들을 찾아봅시다.
$-\frac{1}{4}$과 $+\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{5}$과 $+\frac{1}{5}$ 등이 차례로 지워지고 남는 항은 다음과 같습니다.
- 앞부분에 남는 항: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$
- 뒷부분에 남는 항: $-\frac{1}{N+1}, -\frac{1}{N+2}, -\frac{1}{N+3}$
따라서 부분합 $S_N$은 다음과 같이 정리됩니다.
$$ S_N = 3 \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3} \right) $$
이제 $N$을 무한대로 보내어 급수의 합 $S$를 구합니다.
$$ S = \lim_{N \to \infty} S_N = 3 \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) $$
(이때 $\frac{1}{N+1}, \frac{1}{N+2}, \frac{1}{N+3}$은 모두 $0$으로 수렴합니다.)
괄호 안을 계산하면,
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6} $$
따라서 $S$는 다음과 같습니다.
$$ S = 3 \times \frac{11}{6} = \frac{11}{2} $$
4단계: $a+S$ 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $a+S$입니다.
$$ a + S = 3 + \frac{11}{2} = \frac{6}{2} + \frac{11}{2} = \frac{17}{2} $$
답
정답은 **④ $\frac{17}{2}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n - 5)$가 수렴할 때, 수열 $\{a_n\}$의 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n$은 얼마일까요? (힌트: 급수가 수렴하면 일반항의 극한값은 $0$이 됩니다.)